Seja V=P2(R) (e.v. dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 2). Sejam D in L(V) o operador de derivação e f(x)=x^2+2 x-5 in R[x]. Descreva o operador f(D) in L(V).

Passo 1

O espaço vetor V é o conjunto dos polinômios reais de grau <=2, e Dcolon Vto V é a derivação D(p)=p'. O polinômio dado é
f(x)=x^2+2x-5,
e queremos “aplicar” f ao operador D, isto é, construir f(D). Para isso usamos o fato de que, para um polinômio f(t)=a2t^2+a1t+a0, o operador f(D) em V é
f(D)=a2D^2 + a1D + a0I

Passo 2

No nosso caso temos a2=1, a1=2 e a0=-5. Logo
f(D)=D^2 + 2D -5I,
onde I é o operador identidade em V.

Passo 3

Para ver explicitamente como f(D) age num polinômio genérico
p(x)=a + b x + c x^2,
calculemos suas derivadas
p'(x)=b+2c x, p''(x)=2c
Então
f(D)(p)(x)=p''(x)+2p'(x)-5p(x) =2c +2(b+2c x)-5(a+bx+cx^2)

Passo 4

Agrupando termos em potências de x, obtemos
f(D)(p)(x) =l(2c+2b-5ar) +l(4c-5br)x +l(-5cr)x^2
Em coordenadas na base 1,x,x^2, isto corresponde à transformação
(a,b,c)mapstol(2c+2b-5a,;4c-5b,;-5cr)
Opcionalmente, a matriz de f(D) nessa base é
-5 & 2 & 2 0 & -5 & 4 0 & 0 & -5

Resposta

O operador f(D) em V é
f(D)=D^2+2D-5I,
e sua ação num polinômio p(x)=a+bx+cx^2 é
f(D)(p)(x) = (2c+2b-5a)+(4c-5b)x-5c,x^2

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