Encontre o polinômio mínimo e característico dos operadores dados pelas respectivas matrizes associadas na base canônica, , de cada espaço. .
Passo 1
O enunciado pede o polinômio característico e o polinômio minimal de TcolonR^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
A = [T]C = -9 & 4 & 4 -8 & 3 & 4 -16 & 8 & 7
Para isso vamos usar a definição
pT(lambda)=det(lambda I - A),
achar suas raízes (autovalores) e multiplicidades (algébrica e geométrica) e, a partir daí, deduzir o polinômio minimal.
Passo 2
Montamos
lambda I - A = lambda+9 & -4 & -4 8 & lambda-3 & -4 16 & -8 & lambda-7
e calculamos o determinante por expansão de Laplace na primeira linha. Após simplificar, obtemos
pT(lambda) =det(lambda I - A) =(lambda+1)^2(lambda-3)
Passo 3
Do fator (lambda+1)^2(lambda-3) vemos que lambda=-1 é raiz dupla e lambda=3 é raiz simples. Para decidir o grau no minimal, precisamos da multiplicidade geométrica de lambda=-1. Note que
A+I = -8 & 4 & 4 -8 & 4 & 4 -16 & 8 & 8
tem posto 1 (todas as linhas são múltiplos), logo a nulidade é 3-1=2. Como a multiplicidade geométrica (2) coincide com a algébrica (2), não há bloco de Jordan maior que 1 para lambda=-1. Para lambda=3, por ser simples, o fator também é linear no minimal.