Encontre o polinômio mínimo e característico dos operadores dados pelas respectivas matrizes associadas na base canônica, C, de cada espaço.
T in L(R^3),[T]C=[lll2 & 2 & 0 1 & 1 & 2 1 & 1 & 2].

Passo 1

O enunciado dá o operador TcolonR^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
A=2&2&01&1&21&1&2
Precisamos achar o polinômio característico chiT(lambda)=det(A-lambda I) e o polinômio mínimo mT(lambda).

Passo 2

Para calcular
chiT(lambda)=detl(A-lambda Ir) =det2-lambda&2&01&1-lambda&21&1&2-lambda,
expandimos pela primeira linha:
chiT(lambda) =(2-lambda)det1-lambda&21&2-lambda -2det1&21&2-lambda
Calculemos as menores:
det1-lambda&21&2-lambda =(1-lambda)(2-lambda)-2 =lambda(lambda-3),
det1&21&2-lambda =1cdot(2-lambda)-2 =-lambda
Substituindo,
chiT(lambda) =(2-lambda)l(lambda(lambda-3)r)-2(-lambda) =-lambda^3+5lambda^2-4lambda =lambda(lambda-1)(lambda-4)

Passo 3

Da fatoração chiT(lambda)=lambda(lambda-1)(lambda-4) vemos que os autovalores são 0,1,4, todos distintos. Isso implica que A é diagonalizável.

Passo 4

Para um operador diagonalizável com autovalores distintos, o polinômio mínimo é o produto dos fatores lineares correspondentes, cada um de multiplicidade 1. Portanto,
mT(lambda)=lambda(lambda-1)(lambda-4)

Resposta

O polinômio característico é
chiT(lambda)=lambda(lambda-1)(lambda-4),
e o polinômio mínimo é
mT(lambda)=lambda(lambda-1)(lambda-4)

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