Encontre o polinômio mínimo e característico dos operadores dados pelas respectivas matrizes associadas na base canônica, C, de cada espaço.
T in L(R^5),[T]C=[ccccc2 & 5 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 4 & 2 & 0 0 & 0 & 3 & 5 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 7]

Passo 1

O enunciado dá o operador Tcolon R^5toR^5 cuja matriz na base canônica é
[T]C = 2 & 5 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 4 & 2 & 0 0 & 0 & 3 & 5 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 7
Queremos o polinômio característico chiT(t) e o polinômio mínimo muT(t). Usaremos que chiT(t)=det(tI-A) e que muT(t) é o mínimo grau que anula A, determinado pelos tamanhos dos blocos de Jordan.

Passo 2

Repare que [T]C é bloco-diagonal, com três blocos:
  1. Um bloco 2times2
    A1=2&50&2.
  2. Um bloco 2times2
    A2=4&23&5.
  3. Um bloco 1times1
    A3=(7).

Passo 3

Para cada bloco, calculamos o polinômio característico:
  1. Bloco : é triangular com diagonal , então
  1. Bloco : traço , determinante . Logo
  1. Bloco :

Passo 4

Como [T]C é bloco-diagonal,
chiT(t) =chiA1(t),chiA2(t),chiA3(t) =(t-2)^2,(t-7)(t-2),(t-7) =(t-2)^3,(t-7)^2

Passo 5

Para o polinômio mínimo muT(t) precisamos, para cada valor próprio lambda, o maior tamanho de bloco de Jordan em lambda:
  • lambda=2: aparece em A1 num bloco de Jordan de tamanho 2 e em A2 apenas diagonal (bloco de tamanho 1). Então o expoente de (t-2) em muT é 2.
  • lambda=7: aparece em A2 e em A3, mas em ambos como bloco de tamanho 1. Então o expoente de (t-7) em muT é 1.

Resposta

O polinômio característico é
chiT(t)=(t-2)^3,(t-7)^2,
e o polinômio mínimo é
muT(t)=(t-2)^2,(t-7)

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