Encontre o polinômio mínimo e característico dos operadores dados pelas respectivas matrizes associadas na base canônica, C, de cada espaço.
T in L(R^5),[T]C=[lllll3 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 3 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 3 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 3]

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico e o polinômio mínimo do operador TcolonR^5toR^5 cuja matriz na base canônica é
[T]C= 3 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 3 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 3 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 3
O conteúdo é reconhecer que essa matriz está em forma de Jordan, com blocos para o autovalor 3.

Passo 2

Como [T]C é triangular, o polinômio característico é o produto das entradas diagonais em lambda I - [T]C. Logo,
chiT(lambda) =detl(lambda I - [T]Cr) =(lambda-3)^5

Passo 3

Para o polinômio mínimo, note que a matriz se decompõe em dois blocos de Jordan: um bloco 2times2 e um bloco 3times3, ambos com autovalor 3. Em cada bloco de tamanho k, o fator mínimo é (lambda-3)^k.

Passo 4

O polinômio mínimo de T é o mínimo múltiplo comum dos fatores (lambda-3)^2 e (lambda-3)^3, ou seja,
mT(lambda)=(lambda-3)^3

Resposta

chiT(lambda) = (lambda-3)^5,
mT(lambda) = (lambda-3)^3

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