Encontre o polinômio quadrático f(x)=a x^{2}+b x+c tal que
f(2)=5 \quad, \quad f^{\prime}(2)=3 \quad, \quad f^{\prime \prime}(2)=2

Passo 1

O enunciado pede para achar o polinômio quadrático f(x)=a x^{2}+b x+c que satisfaz
f(2)=5,\quad f'(2)=3,\quad f''(2)=2.
O conteúdo envolve derivadas de um polinômio e solução de um sistema linear para a, b e c.

Passo 2

A segunda derivada de f é
f''(x)=2a.
Como f''(2)=2, temos
2a = 2.
Logo
a = 1.

Passo 3

A primeira derivada de f é
f'(x)=2ax + b.
Substituindo x=2 e a=1 na condição f'(2)=3, vem
2\cdot1\cdot2 + b = 3 \quad\Longrightarrow\quad 4 + b = 3 \quad\Longrightarrow\quad b = -1.

Passo 4

Agora usamos f(2)=5 em
f(x)=ax^2 + bx + c
com a=1 e b=-1. Assim
f(2)=1\cdot2^2 - 1\cdot2 + c = 4 - 2 + c = 2 + c.
Igualando a 5, obtemos
2 + c = 5 \quad\Longrightarrow\quad c = 3.

Resposta

O polinômio procurado é
\boxed{f(x)=x^2 - x + 3.}

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