Sejam W1 e W2 os subconjuntos de F([-1,1] ; R) formado pelas funções que são pares, e pelas que são ímpares, respectivamente; isto é,
W1=f in F([-1,1] ; R): f(-x)=f(x) para todo x W2=f in F([-1,1] ; R): f(-x)=-f(x) para todo x
(b) Mostre que F([-1,1] ; R)=W1 oplus W2.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial F([-1,1];R) de todas as funções reais em [-1,1] e os subespaços
W1 de funções pares e W2 de funções ímpares. Queremos mostrar que
F([-1,1];R) = W1oplus W2, isto é, que
  1. todo finF([-1,1];R) pode ser escrito como soma de um par em W1 e um ímpar em W2, e
  2. W1capW2 = 0.

Passo 2

Para qualquer finF([-1,1];R), definimos sua parte “par” e “ímpar” por
f1(x) = f(x) + f(-x)2, f2(x) = f(x) - f(-x)2
Note que
  • f1(-x) = tfracf(-x)+f(x)2 = f1(x), logo f1inW1.
  • f2(-x) = tfracf(-x)-f(x)2 = -f2(x), logo f2inW2.
    Além disso, somando essas duas partes obtemos
f1(x) + f2(x) = f(x)+f(-x)2 + f(x)-f(-x)2 = f(x)
Assim, f = f1+f2 com f1inW1 e f2inW2, provando que W1+W2 = F([-1,1];R).

Passo 3

Mostramos agora que a interseção é só a função zero. Se ginW1capW2, então
g(-x)=g(x) e g(-x)=-,g(x)
Isso implica g(x) = -,g(x) para todo x, ou seja 2,g(x)=0 e portanto g(x)=0. Logo g é a função zero.

Resposta

Concluímos que todo f se decompõe de modo único como soma de uma parte par e uma parte ímpar, e que W1capW2=0. Portanto
F([-1,1];R) ;=; W1oplus W2

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