Sejam
e
os subconjuntos de
formado pelas funções que são pares, e pelas que são ímpares, respectivamente; isto é,
(b) Mostre que
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
de todas as funções reais em
e os subespaços
de funções pares e
de funções ímpares. Queremos mostrar que
, isto é, que
- todo
pode ser escrito como soma de um par em e um ímpar em , e -
.
Passo 2
Para qualquer
, definimos sua parte “par” e “ímpar” por
Note que
-
, logo . -
, logo .
Além disso, somando essas duas partes obtemos
Assim,
com
e
, provando que
.
Passo 3
Mostramos agora que a interseção é só a função zero. Se
, então
Isso implica
para todo
, ou seja
e portanto
. Logo
é a função zero.
Resposta
Concluímos que todo
se decompõe de modo único como soma de uma parte par e uma parte ímpar, e que
. Portanto