Encontre o polinômio de Taylor para a função dada centrada no valor de a. mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem
para
centrado em
, e quer que a gente mostre que o resto
tende a zero.
O conteúdo é séries de Taylor e a forma de Lagrange do resto. Vamos precisar da fórmula
O conteúdo é séries de Taylor e a forma de Lagrange do resto. Vamos precisar da fórmula
e de um argumento que garanta
.
Passo 2
Fazendo a troca de variável
temos
Isso nos permite usar o desenvolvimento binomial generalizado:
onde
Passo 3
Substituindo de volta em
, o polinômio de Taylor de grau
fica
Em particular, os primeiros termos são
Passo 4
Para o resto usamos a forma de Lagrange em
:
com algum
. Como para
vale
é limitado por uma constante e
, segue que
.
Logo, se (ou seja
), temos
Logo, se
Resposta
e de fato
sempre que
.