Encontre o polinômio de Taylor para a função dada centrada no valor de a. mostre que R_{n}(x) \rightarrow 0.
f(x)=\sqrt{x}, \quad a=16

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem n para
f(x)=\sqrt{x}
centrado em a=16, e quer que a gente mostre que o resto R_{n}(x) tende a zero.
O conteúdo é séries de Taylor e a forma de Lagrange do resto. Vamos precisar da fórmula
T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(16)}{k!}(x-16)^{k}
e de um argumento que garanta \lim_{n\to\infty}R_{n}(x)=0.

Passo 2

Fazendo a troca de variável
x=16(1+u),\quad u=\frac{x-16}{16},
temos
f(x)=\sqrt{16(1+u)}=4\,(1+u)^{\tfrac12}.
Isso nos permite usar o desenvolvimento binomial generalizado:
(1+u)^{\tfrac12} =\sum_{k=0}^{n}\binom{\tfrac12}{k}u^{k} +R_{n}(u),
onde
\binom{\tfrac12}{k} =\frac{\tfrac12(\tfrac12-1)\cdots(\tfrac12-k+1)}{k!}.

Passo 3

Substituindo de volta em x, o polinômio de Taylor de grau n fica
T_{n}(x) =4\sum_{k=0}^{n}\binom{\tfrac12}{k}\Bigl(\frac{x-16}{16}\Bigr)^{k}.
Em particular, os primeiros termos são
T_{n}(x) =4 +\frac{4}{2}\,\frac{x-16}{16} -\frac{4}{8}\,\frac{(x-16)^{2}}{16^{2}} +\cdots.

Passo 4

Para o resto usamos a forma de Lagrange em u:
R_{n}(x) =4\;\binom{\tfrac12}{\,n+1\,}\,u^{\,n+1} \;(1+\theta u)^{\tfrac12-n-1},
com algum \theta\in(0,1). Como para \lvert u\rvert<1 vale \lvert(1+\theta u)^{\tfrac12-n-1}\rvert é limitado por uma constante e \binom{\tfrac12}{\,n+1\,}=\mathcal O(n^{-3/2}), segue que \lvert R_{n}(x)\rvert\le C\,\lvert u\rvert^{n+1}n^{-3/2}.
Logo, se \lvert x-16\rvert<16 (ou seja \lvert u\rvert<1), temos
\lim_{n\to\infty}R_{n}(x)=0.

Resposta

T_{n}(x) =4\sum_{k=0}^{n}\binom{\tfrac12}{k}\Bigl(\frac{x-16}{16}\Bigr)^{k},
e de fato \displaystyle R_{n}(x)\rightarrow0 sempre que \lvert x-16\rvert<16.

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