Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada.
\int_{0}^{1} \operatorname{sen}\left(x^{4}\right) d x (quatro casas decimais)

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral definida:
I = \int_{0}^{1} \sin\bigl(x^{4}\bigr)\,dx
com precisão de quatro casas decimais. Vamos usar séries de potências (Maclaurin) e o teste de série alternada.

Passo 2

Expandir \sin(u) em série de Maclaurin:
\sin(u) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{u^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Substituindo u = x^{4} obtemos
\sin\bigl(x^{4}\bigr) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{x^{4(2k+1)}}{(2k+1)!} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{x^{8k+4}}{(2k+1)!}.

Passo 3

Integramos termo a termo em [0,1]. Para cada k:
\int_{0}^{1} x^{8k+4}\,dx = \frac{1}{8k+5}.
Logo
I = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{1}{(2k+1)!\,(8k+5)}.

Passo 4

Como a série é alternada com termos de módulo decrescente, o erro ao truncar após k=n é menor que o módulo do termo n+1. Para quatro casas decimais, queremos o próximo termo menor que 5\times10^{-5}.

Passo 5

Calculamos os primeiros termos:
k=0:\quad a_{0} = \frac{1}{1!\cdot5}=0{,}2,
k=1:\quad a_{1} = -\frac{1}{3!\cdot13}=-\frac{1}{78}\approx -0{,}0128205128,
k=2:\quad a_{2} = \frac{1}{5!\cdot21}=\frac{1}{2520}\approx 0{,}0003968254,
k=3:\quad |a_{3}| = \frac{1}{7!\cdot29}=\frac{1}{146160}\approx 0{,}000006840.
Como |a_{3}|<5\times10^{-5}, podemos parar em k=2. O somatório parcial é
S_{2} = 0{,}2 -0{,}0128205128 +0{,}0003968254 \approx 0{,}1875763126.

Passo 6

Arredondando S_{2} a quatro casas decimais, obtemos
I \approx 0{,}1876.

Resposta

0{,}1876

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