Resolva as equações diferenciais abaixo:
y y^{\prime}=y^{2}-e^{2 x} y^{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y\,y' = y^{2} - e^{2x}y^{3}.
Esta é uma equação de primeira ordem não linear que, ao escrevermos y'=\tfrac{dy}{dx}, fica na forma
\frac{dy}{dx} = y - e^{2x}y^{2},
ou seja, é uma equação de Bernoulli com expoente n=2. Vamos usar o método de transformação para Bernoulli.

Passo 2

Reescrevemos em forma padrão de Bernoulli:
\frac{dy}{dx} - y = -\,e^{2x}y^{2}.

Passo 3

Na equação
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n},
temos aqui P(x)=-1, Q(x)=-e^{2x} e n=2. A transformação usual é
u = y^{1-n} = y^{1-2} = y^{-1}.

Passo 4

Calculamos \tfrac{du}{dx} em função de \tfrac{dy}{dx}:
u = \frac1y \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx} = -\,\frac{1}{y^{2}}\,\frac{dy}{dx}.
Como \tfrac{dy}{dx}=y - e^{2x}y^{2}, temos
\frac{du}{dx} = -\,\frac{1}{y^{2}}\bigl(y - e^{2x}y^{2}\bigr) = -\,\frac{1}{y} + e^{2x} = -\,u + e^{2x}.
Ou seja, obtemos a equação linear
\frac{du}{dx} + u = e^{2x}.

Passo 5

Para resolver \tfrac{du}{dx} + u = e^{2x}, usamos fator integrante \mu(x)=e^{\int1\,dx}=e^{x}. Multiplicando por e^{x}:
e^{x}\frac{du}{dx} + e^{x}u = e^{x}e^{2x}=e^{3x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(u\,e^{x}\bigr) = e^{3x}.
Integramos em x:
u\,e^{x} = \int e^{3x}\,dx = \frac{e^{3x}}{3} + C,
onde C é constante de integração. Logo
u(x) = \frac{e^{3x}}{3\,e^{x}} + C\,e^{-x} = \frac{e^{2x}}{3} + C\,e^{-x}.

Passo 6

Voltando à variável y, temos
u = \frac1y \quad\Longrightarrow\quad y(x) = \frac{1}{u(x)} = \frac{1}{\tfrac{e^{2x}}{3} + C\,e^{-x}} = \frac{3}{e^{2x} + 3C\,e^{-x}}.
Podemos simplificar definindo K = 3C, obtendo
y(x) = \frac{3}{e^{2x} + K\,e^{-x}} = \frac{3\,e^{x}}{e^{3x} + K}.

Resposta

A família geral de soluções, além da solução trivial y\equiv0, é
\boxed{y(x) = \frac{1}{\tfrac{e^{2x}}{3} + C\,e^{-x}},\quad C\in\mathbb{R},}
ou equivalentemente
\boxed{y(x) = \frac{3\,e^{x}}{e^{3x} + K},\quad K\in\mathbb{R},}
mais a solução trivial y(x)=0.

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