Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Esta é uma equação de primeira ordem não linear que, ao escrevermos
, fica na forma
ou seja, é uma equação de Bernoulli com expoente
. Vamos usar o método de transformação para Bernoulli.
Passo 2
Reescrevemos em forma padrão de Bernoulli:
Passo 3
Na equação
temos aqui
,
e
. A transformação usual é
Passo 4
Calculamos
em função de
:
Como
, temos
Ou seja, obtemos a equação linear
Passo 5
Para resolver
, usamos fator integrante
. Multiplicando por
:
Integramos em
:
onde
é constante de integração. Logo
Passo 6
Voltando à variável
, temos
Podemos simplificar definindo
, obtendo
Resposta
A família geral de soluções, além da solução trivial
, é
ou equivalentemente
mais a solução trivial
.