Resolva o PVi.
\left\{\begin{array}{l}y^{(4)}-y=0 \\\ y(0)=1 / 2 \\\ y^{\prime}(0)=-4 \\\ y^{\prime \prime}(0)=5 / 2 \\\ y^{\prime \prime \prime}(0)=-2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y^{(4)}-y=0,\\\ y(0)=\tfrac12,\quad y'(0)=-4,\quad y''(0)=\tfrac52,\quad y'''(0)=-2. \end{cases}
O conteúdo é EDO linear de ordem 4 com coeficientes constantes. Vamos usar a equação característica, escrever a solução geral, calcular derivadas, impor condições iniciais e determinar as constantes.

Passo 2

A equação característica é
r^4 - 1 = 0\;\Longrightarrow\; r^4 = 1,
cuja raízes são
r = 1,\;-1,\;i,\;-i.
Portanto a solução geral é
y(t) = C_{1}e^t + C_{2}e^{-t} + C_{3}\cos t + C_{4}\sin t.

Passo 3

Calculamos as derivadas necessárias e avaliamos em t=0:
y'(t)=C_{1}e^t - C_{2}e^{-t} - C_{3}\sin t + C_{4}\cos t,
y''(t)=C_{1}e^t + C_{2}e^{-t} - C_{3}\cos t - C_{4}\sin t,
y'''(t)=C_{1}e^t - C_{2}e^{-t} + C_{3}\sin t - C_{4}\cos t.
Em t=0 isso vira o sistema
\begin{cases} C_{1}+C_{2}+C_{3}=\tfrac12,\\\ C_{1}-C_{2}+C_{4}=-4,\\\ C_{1}+C_{2}-C_{3}=\tfrac52,\\\ C_{1}-C_{2}-C_{4}=-2. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  • Somando a segunda e a quarta equações:
2(C_{1}-C_{2}) = -6\;\Longrightarrow\;C_{1}-C_{2}=-3.
Substituindo em C_{1}-C_{2}+C_{4}=-4 C_{4}=-1.
  • Somando a primeira e a terceira equações:
2(C_{1}+C_{2}) = 3\;\Longrightarrow\;C_{1}+C_{2}=\tfrac32.
Subtraindo primeira da terceira:
-2C_{3}=2\;\Longrightarrow\;C_{3}=-1.
  • Finalmente, de C_{1}+C_{2}=\tfrac32 e C_{1}-C_{2}=-3 obtemos
C_{1}=-\tfrac34,\quad C_{2}=\tfrac94.

Passo 5

Substituindo C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} na solução geral, vem
y(t)=-\tfrac34e^t+\tfrac94e^{-t}-\cos t-\sin t.

Resposta

y(t)=-\frac{3}{4}e^t + \frac{9}{4}e^{-t} - \cos t - \sin t.

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