Encontre o polinômio de Taylor T6(f)(x) de grau 6, centrado no ponto indicado, para as funções seguintes
f(x)=x^1 / 3, x0=8,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o polinômio de Taylor de grau 6 para a função f(x) = x^1/3 , centrado no ponto x0 = 8 . Isso significa que vamos aproximar a função usando um polinômio que leva em conta as derivadas da função até a sexta ordem no ponto 8. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de f(x) até a sexta ordem e avaliar cada uma delas em x = 8 .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um polinômio de Taylor. O polinômio de Taylor de grau n para uma função f(x) centrado no ponto a é dado por:
Tn(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2!(x - a)^2 + dots + f^(n)(a)n!(x - a)^n
No nosso caso, a = 8 e n = 6 .

Passo 3

Vamos começar calculando a função e suas derivadas até a sexta ordem:
  1. Função original:
f(x) = x^1/3
  1. Primeira derivada:
f'(x) = 13x^-2/3
  1. Segunda derivada:
f''(x) = -29x^-5/3
  1. Terceira derivada:
f'''(x) = 1027x^-8/3
  1. Quarta derivada:
f''''(x) = -8081x^-11/3
  1. Quinta derivada:
f'''''(x) = 880243x^-14/3
  1. Sexta derivada:
f''''''(x) = -12320729x^-17/3

Passo 4

Agora, vamos avaliar cada uma dessas derivadas em x = 8 :
  1. Função original:
f(8) = 8^1/3 = 2
  1. Primeira derivada:
f'(8) = 13 times 8^-2/3 = 13 times (2^3)^-2/3 = 13 times 2^-2 = 13 times 14 = 112
  1. Segunda derivada:
f''(8) = -29 times 8^-5/3 = -29 times (2^3)^-5/3 = -29 times 2^-5 = -29 times 132 = -1144
  1. Terceira derivada:
f'''(8) = 1027 times 8^-8/3 = 1027 times (2^3)^-8/3 = 1027 times 2^-8 = 1027 times 1256 = 106912 = 53456
  1. Quarta derivada:
f''''(8) = -8081 times 8^-11/3 = -8081 times (2^3)^-11/3 = -8081 times 2^-11 = -8081 times 12048 = -80165888 = -510368
  1. Quinta derivada:
f'''''(8) = 880243 times 8^-14/3 = 880243 times (2^3)^-14/3 = 880243 times 2^-14 = 880243 times 116384 = 8803981312 = 55248832
  1. Sexta derivada:
f''''''(8) = -12320729 times 8^-17/3 = -12320729 times (2^3)^-17/3 = -12320729 times 2^-17 = -12320729 times 1131072 = -1232095659392 = -7705971968

Passo 5

Agora, vamos montar o polinômio de Taylor de grau 6 usando os valores que calculamos:
T6(x) = & f(8) + f'(8)(x - 8) + f''(8)2!(x - 8)^2 & + f'''(8)3!(x - 8)^3 + f''''(8)4!(x - 8)^4 & + f'''''(8)5!(x - 8)^5 + f''''''(8)6!(x - 8)^6
Substituindo os valores:
T6(x) = & 2 + 112(x - 8) + -11442(x - 8)^2 & + 534566(x - 8)^3 + -51036824(x - 8)^4 & + 55248832120(x - 8)^5 + -7705971968720(x - 8)^6
Simplificando os coeficientes:
T6(x) = & 2 + 112(x - 8) - 1288(x - 8)^2 & + 520736(x - 8)^3 - 5248832(x - 8)^4 & + 5529859840(x - 8)^5 - 7704304672100(x - 8)^6

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 6 para f(x) = x^1/3 centrado em x0 = 8 é:
T6(x) = & 2 + 112(x - 8) - 1288(x - 8)^2 & + 520736(x - 8)^3 - 5248832(x - 8)^4 & + 5529859840(x - 8)^5 - 7704304672100(x - 8)^6

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