Encontre o polinômio de Taylor
de grau 6, centrado no ponto indicado, para as funções seguintes
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o polinômio de Taylor de grau 6 para a função
, centrado no ponto
. Isso significa que vamos aproximar a função usando um polinômio que leva em conta as derivadas da função até a sexta ordem no ponto 8. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de
até a sexta ordem e avaliar cada uma delas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um polinômio de Taylor. O polinômio de Taylor de grau
para uma função
centrado no ponto
é dado por:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando a função e suas derivadas até a sexta ordem:
- Função original:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
- Quinta derivada:
- Sexta derivada:
Passo 4
Agora, vamos avaliar cada uma dessas derivadas em
:
- Função original:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
- Quinta derivada:
- Sexta derivada:
Passo 5
Agora, vamos montar o polinômio de Taylor de grau 6 usando os valores que calculamos:
Substituindo os valores:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
O polinômio de Taylor de grau 6 para
centrado em
é: