Encontre o polinômio de Taylor T6(f)(x) de grau 6, centrado no ponto indicado, para as funções seguintes
f(x)=e^-x sin (x), x0=0,

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Maclaurin (isto é, Taylor centrado em x0=0) de grau 6 para
f(x)=e^-xsin x
O conteúdo necessário é a expansão em série de potências de e^-x e sin x até ordem 6, seguida de multiplicação e truncamento.

Passo 2

Primeiro vamos escrever as séries de Taylor de cada fator até termos termos de grau no máximo 6:
e^-x=1 - x + x^22 - x^36 + x^424 - x^5120 + x^6720 + O(x^7),
sin x = x - x^36 + x^5120 + O(x^7)

Passo 3

Agora multiplicamos essas duas séries e só mantemos potências de x até x^6. Escrevendo
e^-x=sumk=0^6akx^k+O(x^7), sin x=summ=0^6bmx^m+O(x^7),
onde os únicos bmneq0 são b1=1,;b3=-tfrac16,;b5=tfrac1120. O produto dá
f(x)=sumn=0^6l(sumk=0^nak,bn-kr)x^n+O(x^7)

Passo 4

Calculando coeficiente a coeficiente:
- n=1: a0b1=1cdot1=1.
- n=2: a1b1=-1cdot1=-1.
- n=3: a0b3+a2b1=-tfrac16+tfrac12=tfrac13.
- n=4: a1b3+a3b1=-1cdotl(-tfrac16r)+l(-tfrac16r)cdot1=0.
- n=5: a0b5+a2b3+a4b1=tfrac1120-tfrac112+tfrac124=-tfrac130
- n=6: a1b5+a3b3+a5b1=-tfrac1120+tfrac136-tfrac1120=tfrac190

Resposta

T6(f)(x)=x - x^2 + 13x^3;+;0cdot x^4;-;130x^5;+;190x^6

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