Encontre o polinômio de Taylor
de grau 6, centrado no ponto indicado, para as funções seguintes
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de grau 6 para a função
, centrado no ponto
. Para isso, vamos usar a fórmula do polinômio de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções por polinômios em torno de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral do polinômio de Taylor de grau
para uma função
centrado em
:
Aqui,
é a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
até a sexta derivada, e depois avaliar cada uma delas em
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar cada derivada em
:
Passo 5
Agora, vamos montar o polinômio de Taylor usando os valores que calculamos:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar os coeficientes:
Resposta
O polinômio de Taylor de grau 6 para
centrado em
é: