Encontre o polinômio de Taylor T6(f)(x) de grau 6, centrado no ponto indicado, para as funções seguintes
f(x)=1x, x0=2,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de grau 6 para a função f(x) = 1x , centrado no ponto x0 = 2 . Para isso, vamos usar a fórmula do polinômio de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções por polinômios em torno de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral do polinômio de Taylor de grau n para uma função f(x) centrado em x0 :
Tn(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + f''(x0)2!(x - x0)^2 + dots + f^(n)(x0)n!(x - x0)^n
Aqui, f^(k)(x0) é a k -ésima derivada de f avaliada em x0 , e n! é o fatorial de n .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de f(x) = 1x até a sexta derivada, e depois avaliar cada uma delas em x0 = 2 :
  1. f(x) = x^-1
  2. f'(x) = -x^-2
  3. f''(x) = 2x^-3
  4. f'''(x) = -6x^-4
  5. f''''(x) = 24x^-5
  6. f^(5)(x) = -120x^-6
  7. f^(6)(x) = 720x^-7

Passo 4

Agora, vamos avaliar cada derivada em x0 = 2 :
  1. f(2) = 12
  2. f'(2) = -12^2 = -14
  3. f''(2) = 22^3 = 28 = 14
  4. f'''(2) = -62^4 = -616 = -38
  5. f''''(2) = 242^5 = 2432 = 34
  6. f^(5)(2) = -1202^6 = -12064 = -158
  7. f^(6)(2) = 7202^7 = 720128 = 458

Passo 5

Agora, vamos montar o polinômio de Taylor usando os valores que calculamos:
T6(x) = f(2) + f'(2)(x - 2) + f''(2)2!(x - 2)^2 + f'''(2)3!(x - 2)^3 + f''''(2)4!(x - 2)^4 + f^(5)(2)5!(x - 2)^5 + f^(6)(2)6!(x - 2)^6
Substituindo os valores:
T6(x) = 12 - 14(x - 2) + 142(x - 2)^2 - 386(x - 2)^3 + 3424(x - 2)^4 - 158120(x - 2)^5 + 458720(x - 2)^6

Passo 6

Vamos simplificar os coeficientes:
T6(x) = 12 - 14(x - 2) + 18(x - 2)^2 - 116(x - 2)^3 + 132(x - 2)^4 - 164(x - 2)^5 + 1128(x - 2)^6

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 6 para f(x) = 1x centrado em x0 = 2 é:
T6(x) = 12 - 14(x - 2) + 18(x - 2)^2 - 116(x - 2)^3 + 132(x - 2)^4 - 164(x - 2)^5 + 1128(x - 2)^6

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