3 Questão
Suponha que uma função não negativa
tenha uma derivada de primeira ordem contínua em
. Seja
a fronteira da região no plano
que é limitada abaixo pelo eixo
, acima pelo gráfico de
e dos lados pelas retas
e
. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para a região
limitada abaixo pelo eixo
, acima pela curva
e lateralmente por
e
, vale
onde
é a fronteira de
percorrida no sentido anti-horário. Vamos usar o conceito de integral de linha da forma
, neste caso com
e
, e decompor
em quatro segmentos.
Passo 2
Decomponha
em quatro partes:
— : do ponto
a
ao longo do eixo
.
— : de
a
subindo pela reta
.
— : de
a
seguindo o gráfico
, com
variando de
até
.
— : de
a
descendo pela reta
.
—
—
—
—
Em cada trecho calcularemos
.
Passo 3
Calcule
em cada parte:
- Sobre
, , logo
- Sobre
, constante, então e
- Sobre
, parametrize por de até com . Então
- Sobre
, constante, então e
Passo 4
Somando as quatro contribuições,
Rearranjando, obtemos exatamente