3 Questão

Suponha que uma função não negativa y=f(x) tenha uma derivada de primeira ordem contínua em [a, b]. Seja C a fronteira da região no plano x y que é limitada abaixo pelo eixo x, acima pelo gráfico de f e dos lados pelas retas x=a e x=b. Mostre que
\int_{a}^{b} f(x) d x=-\oint_{C} y d x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a região R limitada abaixo pelo eixo x, acima pela curva y=f(x) e lateralmente por x=a e x=b, vale
\int_{a}^{b}f(x)\,dx \;=\; -\oint_{C}y\,dx,
onde C é a fronteira de R percorrida no sentido anti-horário. Vamos usar o conceito de integral de linha da forma \oint_C P\,dx + Q\,dy, neste caso com P(x,y)=y e Q(x,y)=0, e decompor C em quatro segmentos.

Passo 2

Decomponha C em quatro partes:
C_1: do ponto (a,0) a (b,0) ao longo do eixo x.
C_2: de (b,0) a \bigl(b,f(b)\bigr) subindo pela reta x=b.
C_3: de \bigl(b,f(b)\bigr) a \bigl(a,f(a)\bigr) seguindo o gráfico y=f(x), com x variando de b até a.
C_4: de \bigl(a,f(a)\bigr) a (a,0) descendo pela reta x=a.
Em cada trecho calcularemos \displaystyle\int y\,dx.

Passo 3

Calcule \int_{C_i}y\,dx em cada parte:
  1. Sobre C_1, y=0, logo
\int_{C_1}y\,dx = \int_{a}^{b}0\;dx = 0.
  1. Sobre C_2, x=b constante, então dx=0 e
\int_{C_2}y\,dx = 0.
  1. Sobre C_3, parametrize por x de b até a com y=f(x). Então
\int_{C_3}y\,dx = \int_{b}^{a}f(x)\,dx = -\int_{a}^{b}f(x)\,dx.
  1. Sobre C_4, x=a constante, então dx=0 e
\int_{C_4}y\,dx = 0.

Passo 4

Somando as quatro contribuições,
\oint_{C}y\,dx = \sum_{i=1}^4\int_{C_i}y\,dx = 0 + 0 + \bigl(-\!\!\int_{a}^{b}f(x)\,dx\bigr) + 0 = -\int_{a}^{b}f(x)\,dx.
Rearranjando, obtemos exatamente
\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\oint_{C}y\,dx.

Resposta

\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\oint_{C}y\,dx.

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