Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. (Dica: Utilize o Teste da Comparação ou o Teste da Comparação no Limite. Compare cada termo an com uma série conhecida, como p-séries, séries geométricas, séries telescópicas, etc.)
sumn=1^infty 4+3^n2^n

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se a série
sumn=1^infty 4 + 3^n2^n
é convergente ou divergente. O conteúdo é séries de termos positivos e vamos usar o Teste da Comparação com séries geométricas conhecidas.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral separando em duas parcelas:
4 + 3^n2^n = 4cdot 12^n ;+;3^n2^n = 4cdot 2^-n ;+;l(tfrac32r)^n

Passo 3

Analisamos cada uma das séries:
A) sumn=1^infty4cdot 2^-n é uma série geométrica de razão r=tfrac12. Como lvert rrvert<1, essa parte converge.
B) sumn=1^inftyl(tfrac32r)^n é uma série geométrica de razão r=tfrac32>1. Nesse caso os termos não vão a zero e a soma diverge (cresce exponencialmente).

Passo 4

A soma de duas séries diverge se pelo menos uma delas diverge. Como a parte sum(tfrac32)^n diverge, concluímos que
sumn=1^infty4+3^n2^n
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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