Encontre o polinômio de Taylor de ordem 3 associado a função f no ponto (0,0) em que f: R^2 R dada por
f(x, y)=x sen(x)+y sen(y)

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 3 (Maclaurin) da função f: R^2to R, dada por f(x,y)=x,sin(x)+y,sin(y), centrado em (0,0). Vamos usar a fórmula geral do polinômio de Taylor em duas variáveis e calcular as derivadas até ordem 3 em (0,0).

Passo 2

Para funções de duas variáveis, o polinômio de Taylor de ordem 3 em (0,0) é dado por:
P3(x,y)=f(0,0)+fx(0,0)x+fy(0,0)y +12l(fxx(0,0)x^2+2fxy(0,0)xy+fyy(0,0)y^2r) +16l(fxxx(0,0)x^3+3fxxy(0,0)x^2y+3fxyy(0,0)xy^2+fyyy(0,0)y^3r)

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais em (0,0):
  • f(0,0)=0cdotsin0+0cdotsin0=0.
  • fx(x,y)=sin(x)+xcos(x) fx(0,0)=0+0=0.
  • fy(x,y)=sin(y)+ycos(y) fy(0,0)=0+0=0.

Passo 4

Agora as segundas derivadas em (0,0):
  • fxx(x,y)=2cos(x)-xsin(x) fxx(0,0)=2cdot1-0=2.
  • fyy(x,y)=2cos(y)-ysin(y) fyy(0,0)=2.
  • fxy(x,y)=0 fxy(0,0)=0.

Passo 5

As terceiras derivadas em (0,0) também serão nulas, pois de
fxx(x,y)=2cos x - xsin x obtemos fxxx(0,0)=-3sin0-0cdotcos0=0, e por simetria todos os termos mista e fyyy(0,0) são zero.

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula de P3(x,y), só sobra o termo quadrático:
P3(x,y)=0+0+0+12l(2x^2+0+2y^2r)+0=x^2+y^2

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 3 de f em (0,0) é
P3(x,y)=x^2+y^2

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