Encontre o polinômio de Taylor de ordem 3 associado a função
no ponto
em que
dada por
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 3 (Maclaurin) da função
, dada por
, centrado em
. Vamos usar a fórmula geral do polinômio de Taylor em duas variáveis e calcular as derivadas até ordem 3 em
.
Passo 2
Para funções de duas variáveis, o polinômio de Taylor de ordem 3 em
é dado por:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais em
:
-
. -
dá . -
dá .
Passo 4
Agora as segundas derivadas em
:
-
dá . -
dá . -
dá .
Passo 5
As terceiras derivadas em
também serão nulas, pois de
obtemos
, e por simetria todos os termos mista e
são zero.
Passo 6
Substituindo tudo na fórmula de
, só sobra o termo quadrático:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 3 de
em
é