Estudar a convergencia das séries de termos gerais
Passo 1
Resumo: temos a série Σu_n, onde
. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da divergência, teste de convergência absoluta e um critério para séries alternadas (agrupamento de termos).
Passo 2
Verificação do termo geral: calculamos o valor absoluto
Como
para
, temos
. Logo o termo geral tende a zero, condição necessária para convergência.
Passo 3
Convergência absoluta: consideramos
Como
diverge (p=1/2<1), a série não converge absolutamente.
Passo 4
Convergência condicional por agrupamento: agrupamos pares de termos
Para
grande, expandindo em série de Taylor nos denominadores, mostra-se
Como
converge (p=3/2>1), a soma de cada par converge, logo toda a série Σu_n converge.
Passo 5
Conclusão: a série não converge absolutamente, mas converge pela soma em pares (ou seja, condicionalmente).
Resposta
A série converge condicionalmente (não absolutamente, mas converge pelo agrupamento de termos).