Estudar a convergencia das séries de termos gerais
un=(-1)^nraizn+(-1)^n

Passo 1

Resumo: temos a série Σu_n, onde un = (-1)^nraizn + (-1)^n. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da divergência, teste de convergência absoluta e um critério para séries alternadas (agrupamento de termos).

Passo 2

Verificação do termo geral: calculamos o valor absoluto
|un| = 1raizn + (-1)^n
Como n + (-1)^nsim n para ntoinfty, temos |un|to 0. Logo o termo geral tende a zero, condição necessária para convergência.

Passo 3

Convergência absoluta: consideramos
sumn=2^infty |un| = sumn=2^infty 1raizn + (-1)^n ,>=, sumn=2^infty 1raiz2n = 1raiz2sumn=2^infty 1raizn
Como sum n^-1/2 diverge (p=1/2<1), a série não converge absolutamente.

Passo 4

Convergência condicional por agrupamento: agrupamos pares de termos
u2k-1 + u2k = (-1)^2k-1raiz2k-1+(-1)^2k-1 + (-1)^2kraiz2k+(-1)^2k = -1raiz2k-2 + 1raiz2k+1
Para k grande, expandindo em série de Taylor nos denominadores, mostra-se
u2k-1 + u2k sim -34raiz2,k^-3/2
Como sum k^-3/2 converge (p=3/2>1), a soma de cada par converge, logo toda a série Σu_n converge.

Passo 5

Conclusão: a série não converge absolutamente, mas converge pela soma em pares (ou seja, condicionalmente).

Resposta

A série converge condicionalmente (não absolutamente, mas converge pelo agrupamento de termos).

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