Encontre o polinômio de Taylor de ordem 3 associado a função
no ponto
em que
dada por
Passo 1
Estamos buscando o polinômio de Taylor de ordem 3 de uma função de duas variáveis, no ponto (1,1). O conteúdo aqui é expansão de Taylor multivariada até grau 3, e vamos precisar das derivadas parciais de ordem até 3 avaliadas em (1,1).
Passo 2
A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem 3 de uma função g(x,y) em torno de (a,b) é dada por
Isso significa somar todos os termos de grau total 0,1,2 e 3.
Passo 3
Como g(x,y)=e^{2x+3y}, cada derivada parcial de ordem (i,j) é
Porque cada derivada em x traz um fator 2 e cada em y traz um fator 3.
Passo 4
Agora avaliamos em (1,1). Como 2·1+3·1=5, temos
e o termo correspondente no polinômio é
Passo 5
Para organizar, definimos h=x-1 e k=y-1. Então o polinômio até a ordem 3 fica
Agrupando por soma total de i+j, reconhecemos a expansão de
truncada em grau 3: observamos que a soma dos termos de grau de 0 a 3 de
é
Logo este é exatamente nosso polinômio, multiplicado por
. Portanto finalmente
T_3(x,y)=e5\Bigl[1+(2(x-1)+3(y-1))+\tfrac12(2(x-1)+3(y-1))2+\tfrac16(2(x-1)+3(y-1))^3\Bigr].
T_3(x,y)=e5\Bigl[1+(2(x-1)+3(y-1))+\tfrac12(2(x-1)+3(y-1))2+\tfrac16(2(x-1)+3(y-1))^3\Bigr].
Resposta
T_3(x,y)=e5\Bigl[1+(2(x-1)+3(y-1))+\tfrac12(2(x-1)+3(y-1))2+\tfrac16(2(x-1)+3(y-1))^3\Bigr]