Encontre o polinômio de Taylor de ordem 3 associado a função g no ponto (1,1) em que f: R^2 R dada por g(x, y)=e^2 x+3 y

Passo 1

Estamos buscando o polinômio de Taylor de ordem 3 de uma função de duas variáveis, no ponto (1,1). O conteúdo aqui é expansão de Taylor multivariada até grau 3, e vamos precisar das derivadas parciais de ordem até 3 avaliadas em (1,1).

Passo 2

A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem 3 de uma função g(x,y) em torno de (a,b) é dada por
T3(x,y)=sumi+j<=3 1i!,j!,partial^i+jgpartial x^ipartial y^j(a,b),(x-a)^i(y-b)^j
Isso significa somar todos os termos de grau total 0,1,2 e 3.

Passo 3

Como g(x,y)=e^{2x+3y}, cada derivada parcial de ordem (i,j) é
partial^i+jgpartial x^ipartial y^j(x,y)=2^i,3^j,e^2x+3y
Porque cada derivada em x traz um fator 2 e cada em y traz um fator 3.

Passo 4

Agora avaliamos em (1,1). Como 2·1+3·1=5, temos
partial^i+jgpartial x^ipartial y^j(1,1)=2^i,3^j,e^5
e o termo correspondente no polinômio é
2^i,3^j,e^5i!,j!(x-1)^i(y-1)^j .

Passo 5

Para organizar, definimos h=x-1 e k=y-1. Então o polinômio até a ordem 3 fica
T3(x,y)=e^5sumi+j<=32^i,3^ji!,j!,h^i k^j
Agrupando por soma total de i+j, reconhecemos a expansão de e^2h+3k truncada em grau 3: observamos que a soma dos termos de grau de 0 a 3 de e^2h+3k é
1+(2h+3k)+(2h+3k)^22!+(2h+3k)^33!
Logo este é exatamente nosso polinômio, multiplicado por e^5. Portanto finalmente
T_3(x,y)=e5\Bigl[1+(2(x-1)+3(y-1))+\tfrac12(2(x-1)+3(y-1))2+\tfrac16(2(x-1)+3(y-1))^3\Bigr].

Resposta

T_3(x,y)=e5\Bigl[1+(2(x-1)+3(y-1))+\tfrac12(2(x-1)+3(y-1))2+\tfrac16(2(x-1)+3(y-1))^3\Bigr]

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