Estudar a convergencia das séries de termos gerais

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência de termos gerais un=e^nl(1-tfrac1nr)^n^3. O conteúdo aqui envolve limites de sequências e uso de logaritmo para facilitar o manejo de potências muito grandes.

Passo 2

Para simplificar, vamos trabalhar com o logaritmo natural de un. Temos:
ln un = lnl(e^nr) + lnl(l(1-tfrac1nr)^n^3r)
Como ln(e^n) = n e lnl((1-tfrac1n)^n^3r)=n^3ln(1-tfrac1n), obtemos:
ln un = n + n^3lnl(1-tfrac1nr)

Passo 3

Usamos a expansão em série de Taylor para ln(1-x) quando xto0:
lnl(1-tfrac1nr)= -tfrac1n - tfrac12n^2 - tfrac13n^3 + Ol(n^-4r)
Multiplicando por n^3:
n^3lnl(1-tfrac1nr)= -n^2 - tfracn2 - tfrac13 + Ol(n^-1r)

Passo 4

Logo:
ln un = n - n^2 - tfracn2 - tfrac13 + o(1) = -n^2 + tfracn2 - tfrac13 + o(1)
Como o termo dominante é -n^2, concluímos que ln unto -infty quando nto+infty. Portanto
un = e^ln un to 0

Resposta

A sequência un=e^n(1-tfrac1n)^n^3 converge para 0.

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