Estudar a convergencia das séries de termos gerais

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos gerais un=ln nln(e^n-1). O conteúdo principal aqui é séries de termos positivos e vamos usar comparações assintóticas e o teste da comparação limite.

Passo 2

Para grandes n, temos e^n muito maior que 1, então e^n-1approx e^n. Logo,
ln(e^n-1)=lnl(e^n(1-e^-n)r)=n+ln(1-e^-n)approx n,
o que nos dá o comportamento assintótico
un=ln nln(e^n-1)simln nn

Passo 3

Sabemos que a série sumn=2^inftyln nn diverge. Por exemplo, pelo teste da integral,
integral2^inftyln xx,dx=(ln x)^22|2^infty=infty,
então sumln nn diverge.

Passo 4

Usando o teste da comparação limite, considere an=ln nln(e^n-1) e bn=ln nn. Calculamos
limntoinftyanbn=limntoinftyln nln(e^n-1)cdotnln n=limntoinftynln(e^n-1)=1

Passo 5

Como sum bn diverge e o limite é finito e não nulo, concluímos que sum an também diverge.

Resposta

A série sumn=2^inftyln nln(e^n-1) diverge.

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