Encontre o polinômio de Taylor de ordem 3 da função f(x)=\operatorname{sen}(\pi x). Em seguida, use este resultado para aproximar o valor de \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{10}\right).

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 3 de f(x)=\operatorname{sen}(\pi x) em torno de um ponto que facilite a aproximação de
\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac\pi2 + \tfrac{\pi}{10}\Bigr) =\operatorname{sen}\bigl(\pi\cdot\tfrac{3}{5}\bigr) =f\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr).
Como \tfrac{3}{5} está perto de \tfrac12, vamos desenvolver o polinômio em torno de
a = \tfrac12.
Para isso, precisamos de f(a), f'(a), f''(a) e f'''(a).

Passo 2

Calculamos as derivadas de f(x)=\operatorname{sen}(\pi x):
f'(x)=\pi\cos(\pi x)
f''(x)=-\pi^2\operatorname{sen}(\pi x)
f'''(x)=-\pi^3\cos(\pi x)

Passo 3

Agora avaliamos em x=a=\tfrac12: \operatorname{sen}(\pi\cdot\tfrac12)=1, logo f(\tfrac12)=1. \cos(\pi\cdot\tfrac12)=0, logo f'(\tfrac12)=0. \operatorname{sen}(\pi\cdot\tfrac12)=1, logo
f''(\tfrac12)=-\pi^2\cdot1=-\pi^2. \cos(\pi\cdot\tfrac12)=0, logo f'''(\tfrac12)=0.

Passo 4

O polinômio de Taylor de ordem 3 em torno de a é
P_{3}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^{3}.
Substituindo os valores em a=\tfrac12, vem
P_{3}(x) =1 + 0\cdot(x-\tfrac12) +\frac{-\pi^2}{2}(x-\tfrac12)^{2} +0\cdot(x-\tfrac12)^{3} =1-\frac{\pi^2}{2}\bigl(x-\tfrac12\bigr)^{2}.

Passo 5

Para aproximar \operatorname{sen}\bigl(\pi\cdot\tfrac{3}{5}\bigr), note que \tfrac{3}{5}-\tfrac12=\tfrac{1}{10}.
Assim,
P_{3}\bigl(\tfrac35\bigr) =1-\frac{\pi^2}{2}\!\Bigl(\tfrac{1}{10}\Bigr)^{2} =1-\frac{\pi^2}{200}.
Numericamente,
\frac{\pi^2}{200}\approx0,04935 \quad\Longrightarrow\quad P_{3}\bigl(\tfrac35\bigr)\approx1-0,04935=0,95065.

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 3 em torno de x=\tfrac12 é
P_{3}(x)=1-\frac{\pi^2}{2}\bigl(x-\tfrac12\bigr)^{2},
e a aproximação fica
\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac\pi2+\tfrac{\pi}{10}\Bigr) \approx0,95065.

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