Seja
o erro do polinômio de Taylor de ordem 2 de
ao redor de
. Verifique que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o erro de truncamento de ordem 2, denotado por
, satisfaz
O conteúdo usado será o Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange, supondo que
tenha derivada terceira contínua num intervalo que contém
.
Passo 2
Pelo Teorema de Taylor de ordem 2 com resto de Lagrange, existe um ponto
entre
e
tal que
onde
é o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de
e
Passo 3
Escrevendo explicitamente o erro, temos
Passo 4
Dividindo
por
, obtemos
Passo 5
Como
, temos
e, pela continuidade de
em
, o valor
permanece finito. Assim,
Resposta
O limite é
.