Seja E_{2}(x) o erro do polinômio de Taylor de ordem 2 de f ao redor de x_{0}. Verifique que
\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{E_{2}(x)}{\left(x-x_{0}\right)^{2}}=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o erro de truncamento de ordem 2, denotado por E_{2}(x), satisfaz
\lim_{x\to x_{0}}\frac{E_{2}(x)}{(x - x_{0})^{2}} = 0.
O conteúdo usado será o Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange, supondo que f tenha derivada terceira contínua num intervalo que contém x_{0}.

Passo 2

Pelo Teorema de Taylor de ordem 2 com resto de Lagrange, existe um ponto \xi entre x e x_{0} tal que
f(x) = T_{2}(x) + R_{3}(x),
onde T_{2}(x) é o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de x_{0} e
E_{2}(x) = R_{3}(x) = \frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,(x - x_{0})^{3}.

Passo 3

Escrevendo explicitamente o erro, temos
E_{2}(x) = \frac{f^{(3)}(\xi)}{6}\,(x - x_{0})^{3}.

Passo 4

Dividindo E_{2}(x) por (x - x_{0})^{2}, obtemos
\frac{E_{2}(x)}{(x - x_{0})^{2}} = \frac{f^{(3)}(\xi)}{6}\,(x - x_{0}).

Passo 5

Como x \to x_{0}, temos \xi \to x_{0} e, pela continuidade de f^{(3)} em x_{0}, o valor f^{(3)}(\xi) permanece finito. Assim,
\lim_{x\to x_{0}}\frac{E_{2}(x)}{(x - x_{0})^{2}} = \lim_{x\to x_{0}}\frac{f^{(3)}(\xi)}{6}\,(x - x_{0}) = \frac{f^{(3)}(x_{0})}{6}\cdot 0 = 0.

Resposta

O limite é 0.

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