Para valores pequenos, podemos considerar \operatorname{sen}(x) \approx x. Tal aproximação, pode ser justificada pelo limite fundamental trigonométrico. A saber, pelo limite:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1 .
Qual a estimativa de erro dessa aproximação?

Passo 1

O enunciado pede a estimativa de erro ao aproximar \sin(x) por x para x pequeno. Vamos usar o Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange para a função f(x)=\sin(x) em torno de 0.

Passo 2

Expandindo \sin(x) por Taylor em 0 até o termo de ordem 2, temos a polinomial
P_2(x)=f(0)+f'(0)\,x+ \frac{f''(0)}{2!}\,x^2 = 0 + 1\cdot x + 0\cdot\frac{x^2}{2} = x.
O resto de ordem 2 (termo que faltou) é dado pela forma de Lagrange:
R_2(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,x^3 \quad\text{para algum }\xi\text{ entre }0\text{ e }x.
Como f^{(3)}(t)= -\cos(t), resulta
R_2(x) = -\frac{\cos(\xi)}{6}\,x^3.

Passo 3

Usando \bigl|\cos(\xi)\bigr|\le 1, obtemos a estimativa
\bigl|R_2(x)\bigr| \;=\;\bigl|\sin(x)-x\bigr|\;\le\;\frac{|x|^3}{6}.
Isso mostra que o erro é de ordem \mathcal{O}(x^3).

Resposta

A estimativa de erro é
\bigl|\sin(x)-x\bigr|\le\frac{|x|^3}{6},
ou seja, o erro é da ordem de x^3.

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