Mostre que a solução y(t) do P.V.I. dado, existe no intervalo especificado: \dot{y}=t+y^{2}, com y(0)=0, para 0 \leq t \leq \frac{1}{2}
Passo 1
O P.V.I. é
\dot{y}=t+y^{2},\quad y(0)=0,
e queremos mostrar que a solução existe em todo o intervalo [0,\tfrac12]. Vamos usar o Teorema de Picard–Lindelöf (existência e unicidade) num retângulo apropriado do plano (t,y).
Passo 2
Escolhemos um retângulo
R=\{(t,y)\mid |t|\le a,\;|y|\le b\},
com a=\tfrac12 e b>0 a determinar. A função
f(t,y)=t+y^2
é contínua em R e tem derivada parcial em y dada por \partial f/\partial y=2y, logo é Lipschitz em y com constante
A inequação tem raízes b=1\pm\tfrac1{\sqrt2}, de modo que qualquer b\in[\,1-\tfrac1{\sqrt2},\,1+\tfrac1{\sqrt2}\,] funciona. Por exemplo, escolha b=1. Então