Mostre que a solução y(t) do P.V.I. dado, existe no intervalo especificado:
\dot{y}=t+y^{2}, com y(0)=0, para 0 \leq t \leq \frac{1}{2}

Passo 1

O P.V.I. é
\dot{y}=t+y^{2},\quad y(0)=0,
e queremos mostrar que a solução existe em todo o intervalo [0,\tfrac12]. Vamos usar o Teorema de Picard–Lindelöf (existência e unicidade) num retângulo apropriado do plano (t,y).

Passo 2

Escolhemos um retângulo
R=\{(t,y)\mid |t|\le a,\;|y|\le b\},
com a=\tfrac12 e b>0 a determinar. A função
f(t,y)=t+y^2
é contínua em R e tem derivada parcial em y dada por \partial f/\partial y=2y, logo é Lipschitz em y com constante
L=\sup_{(t,y)\in R}\bigl|2y\bigr|=2b.

Passo 3

Estimamos
M=\sup_{(t,y)\in R}\bigl|f(t,y)\bigr|\le\sup_{|t|\le a,\,|y|\le b}\bigl(|t|+y^2\bigr) = a+b^2 = \tfrac12 + b^2.
Pelo teorema, existe solução única para |t|\le h, onde
h=\min\bigl\{a,\;\tfrac{b}{M}\bigr\} =\min\Bigl\{\tfrac12,\;\frac{b}{\tfrac12+b^2}\Bigr\}.

Passo 4

Para garantir h\ge \tfrac12, basta ter
\frac{b}{\tfrac12+b^2}\ge \tfrac12 \quad\Longleftrightarrow\quad 2b\ge \tfrac12+b^2 \quad\Longleftrightarrow\quad b^2-2b+\tfrac12\le0.
A inequação tem raízes b=1\pm\tfrac1{\sqrt2}, de modo que qualquer b\in[\,1-\tfrac1{\sqrt2},\,1+\tfrac1{\sqrt2}\,] funciona. Por exemplo, escolha b=1. Então
M=\tfrac12+1^2=\tfrac32, \quad \frac{b}{M}=\frac{1}{3/2}=\tfrac23,
e assim
h=\min\Bigl\{\tfrac12,\tfrac23\Bigr\}=\tfrac12.
Logo a solução existe (e é única) em |t|\le\tfrac12, isto é, no intervalo [0,\tfrac12].

Resposta

A solução do P.V.I. existe e é única em [0,\tfrac12].

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