Encontre a série de Taylor gerada por f em x=a.
f(x)=3 x^3-x^4+2 x^3+x^2-2, a=-1

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de
f(x) = 3x^3 - x^4 + 2x^3 + x^2 -2
em torno de a=-1.
Como f é um polinômio, sua série de Taylor em x=a é finita e obtém-se reescrevendo f(x) como polinômio em h = x - (-1) = x+1.

Passo 2

Primeiro simplificamos f(x) somando termos semelhantes:
f(x) = -x^4 + (3x^3+2x^3) + x^2 - 2 = -x^4 + 5x^3 + x^2 -2

Passo 3

Definimos h = x+1, ou seja x = h-1. Vamos expressar f em função de h:
f(x) = - (h-1)^4 + 5,(h-1)^3 + (h-1)^2 - 2
Em seguida usamos as expansões:
(h-1)^2 = h^2 - 2h + 1,
(h-1)^3 = h^3 - 3h^2 + 3h -1,
(h-1)^4 = h^4 - 4h^3 + 6h^2 -4h +1

Passo 4

Substituindo e somando termo a termo:
f(x) &= -l(h^4 -4h^3+6h^2-4h+1r) +5l(h^3 -3h^2+3h-1r) +l(h^2 -2h+1r) -2, &= -h^4 +4h^3 -6h^2 +4h -1 +5h^3 -15h^2 +15h -5 +h^2 -2h +1 -2, &= -h^4 +,9h^3 ;-;20h^2 ;+,17h ;-;7

Passo 5

Voltando a h = x+1, a série de Taylor de f em a=-1 é
f(x) = -7 + 17,(x+1) -20,(x+1)^2 + 9,(x+1)^3 - (x+1)^4

Resposta

f(x) = -7 + 17,(x+1) -20,(x+1)^2 + 9,(x+1)^3 - (x+1)^4

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