Encontre os polinômios de Taylor de ordens 0,1,2 e 3 gerados por f em a.
f(x)=raizx+4, a=0

Passo 1

O enunciado pede os polinômios de Taylor de ordem 0, 1, 2 e 3 para
f(x)=raizx+4
em torno de a=0. Lembrando que o polinômio de Taylor de ordem n em torno de a é
Tn(x)=sumk=0^nf^(k)(a)k!(x-a)^k
Como a=0, teremos (x-a)^k=x^k. Precisamos então de f(0), f'(0), f''(0) e f^(3)(0).

Passo 2

Calcular f(0):
f(0)=raiz0+4=2
Logo o polinômio de ordem 0 é
T0(x)=2

Passo 3

Obter f'(x) e avaliar em 0:
f'(x)=12raizx+4 Longrightarrow f'(0)=12cdot2=14
Assim o polinômio de ordem 1 fica
T1(x)=2+14x

Passo 4

Obter f''(x) e avaliar em 0:
f''(x) =ddxl(tfrac12(x+4)^-1/2r) =-14(x+4)^-3/2 Longrightarrow f''(0)=-14cdot4^-3/2=-132
Como o termo de ordem 2 no polinômio de Taylor é f''(0)2!x^2, temos
T2(x) =2+14x +-tfrac1322x^2 =2+14x-164x^2

Passo 5

Obter f^(3)(x) e avaliar em 0:
f^(3)(x) =ddxl(-tfrac14(x+4)^-3/2r) =38(x+4)^-5/2 Longrightarrow f^(3)(0)=38cdot4^-5/2=3256
O termo de ordem 3 é f^(3)(0)3!x^3, logo
T3(x) =2+14x-164x^2 +tfrac32566x^3 =2+14x-164x^2+1512x^3

Resposta

T0(x)=2
T1(x)=2+tfrac14x
T2(x)=2+tfrac14x-tfrac164x^2
T3(x)=2+tfrac14x-tfrac164x^2+tfrac1512x^3

Exercícios relacionados