Encontre a série de Maclaurin para as funções nos exercícios 9-20.
(x+1)^2

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=(1+x)^2. Lembra que a série de Maclaurin de uma função analítica em torno de x=0 é
f(x)=sumn=0^inftyanx^n
com
an=f^(n)(0)n!
Aqui, como f é um polinômio de grau 2, a expansão vai truncar em n=2.

Passo 2

Em vez de calcular derivadas, podemos usar diretamente o teorema binomial para expoente inteiro:
(1+x)^2=sumk=0^2binom2k1^2-kx^k

Passo 3

Agora calculamos os coeficientes binomiais:
binom20=1, binom21=2, binom22=1

Passo 4

Substituindo na soma, obtemos
(1+x)^2=1cdot x^0+2cdot x^1+1cdot x^2=1+2x+x^2
Logo, os coeficientes da série de Maclaurin são a0=1, a1=2, a2=1 e an=0 para n>=3.

Passo 5

Como é um polinômio, essa expansão vale para todo xinR (raio de convergência infinito).

Resposta

1+2x+x^2

Exercícios relacionados