Encontre o ponto de interseção entre as retas: r: X=(-1,4,-2)+\lambda(2,-2,5), \lambda \in \mathbb{R} e s: X=(-1,3,5)+t(8,-7,13), t \in \mathbb{R}.
Escolha uma opção:
a. (-5,8,-12)
b. (-3,6,-7)
. c. (5,-2,13)
d. (3,0,8)
e. (7,-4,18)

Passo 1

O enunciado pede o ponto de interseção entre duas retas em \mathbb{R}^3 dadas em forma paramétrica:
r: X = (-1,4,-2) + \lambda\,(2,-2,5), \qquad s: X = (-1,3,5) + t\,(8,-7,13).
Para encontrar a interseção, igualamos as coordenadas de r e s, obtendo um sistema em \lambda e t.

Passo 2

Igualando as componentes x de r e s:
-1 + 2\lambda = -1 + 8t
\implies 2\lambda = 8t
\implies \lambda = 4t.

Passo 3

Agora igualamos as componentes y:
4 - 2\lambda = 3 - 7t.
Substituindo \lambda = 4t:
4 - 2\,(4t) = 3 - 7t
4 - 8t = 3 - 7t
\implies 1 = t.
Logo t = 1 e, portanto, \lambda = 4.

Passo 4

Para garantir que há interseção, verificamos a componente z:
-2 + 5\lambda \stackrel{?}{=} 5 + 13t.
Substituindo \lambda=4 e t=1:
-2 + 5\cdot4 = 5 + 13\cdot1 \quad\Longrightarrow\quad 18 = 18,
confirmando a consistência.

Passo 5

O ponto de interseção é dado por, por exemplo, r(\lambda=4):
X = (-1,4,-2) + 4\,(2,-2,5) = (-1+8,\;4-8,\;-2+20) = (7,-4,18).

Resposta

e. (7,-4,18)

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