Mostre que \operatorname{det}(A)=0 sem calcular o determinante diretamente.
\left[\begin{array}{ccccc}-4 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -4 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & -4 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & -4 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & -4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \det(A)=0 sem calcular o determinante de forma direta. Aqui o conteúdo é determinante e singularidade de matrizes: sabemos que se existe um vetor não-trivial x tal que A x=0, então A é singular e \det(A)=0.

Passo 2

Vamos escolher o vetor
v = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
O produto A v tem como i-ésima entrada
-4\cdot1 + \sum_{\substack{j=1\j\neq i}}^{5}1\cdot1 = -4 + 4 = 0.
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A v = 0.

Passo 3

Como existe v\neq0 com A v=0, a matriz A é singular. Portanto,
\det(A)=0.

Resposta

\det(A)=0

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