Encontre o ponto de interseção entre as retas: r: X=(-2,-4,-3)+\lambda(2,8,1), \lambda \in \mathbb{R} e s: X=(1,2,-1)+t(-1,2,-1), t \in \mathbb{R}
Escolha uma opçẫo:
a. (-3,10,-5)
b. (-2,8,-4)
c. (-4,12,-6)
d. (0,4,-2)
e. (-1,6,-3)

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em \mathbb{R}^3 na forma paramétrica
r: X=(-2,-4,-3)+\lambda(2,8,1) e
s: X=(1,2,-1)+t(-1,2,-1)
e pede o ponto de interseção. O conteúdo aqui é interseção de retas no espaço, e vamos igualar coordenadas para resolver o sistema em \lambda e t.

Passo 2

Para que as retas se intersectem, seus vetores posição devem ser iguais:
(-2+2\lambda,\,-4+8\lambda,\,-3+\lambda) = (1-t,\;2+2t,\;-1-t).
Isso gera o sistema
\begin{cases} -2+2\lambda=1-t,\\\\ -4+8\lambda=2+2t,\\\\ -3+\lambda=-1-t. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação isolamos t:
-2+2\lambda=1-t \;\Rightarrow\; t=3-2\lambda.
Da terceira equação isolamos t também:
-3+\lambda=-1-t \;\Rightarrow\; t=2-\lambda.
Igualando as duas expressões de t:
3-2\lambda=2-\lambda \;\Rightarrow\; \lambda=1.

Passo 4

Substituindo \lambda=1 em t=2-\lambda
t=2-1=1.
Verificamos na segunda equação:
-4+8\cdot1=4, \quad 2+2\cdot1=4,
logo está consistente.

Passo 5

O ponto de interseção é dado por \lambda=1 na reta r:
(-2+2\cdot1,\,-4+8\cdot1,\,-3+1)=(0,4,-2).
Isso corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d) (0,4,-2)

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