Encontre as primitivas das funções:
f(x)=4 \cos x-e^{x}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as primitivas da função f. A função dada é
f(x)=4\cos x - e^{x}.
Ou seja, devemos achar todas as funções F tais que F'(x)=f(x) para todo x (essas funções são chamadas de primitivas ou antiderivadas).

Passo 2

Conceitos e fórmulas úteis (mini-aula rápida):
  • Uma primitiva F de f satisfaz F'(x)=f(x).
  • Se F é uma primitiva de f, então todas as primitivas de f têm a forma F(x)+C, onde C é uma constante real (constante de integração).
  • Linearidade das integrais/primitivas: para constantes a,b e funções g,h,
\text{se }G' = g\text{ e }H' = h\quad\text{então}\quad (aG+bH)' = ag+bh.ã
Na prática, isso permite integrar termo a termo:
\int (a\,g(x)+b\,h(x))\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx.
  • Primitivas padrão que vamos usar:
\int \cos x\,dx = \sin x + C, \qquad \int e^{x}\,dx = e^{x} + C.
Essas fórmulas vêm porque \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x e \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.

Passo 3

Aplicando a linearidade à nossa função,
\int \bigl(4\cos x - e^{x}\bigr)\,dx = 4\int \cos x\,dx \;-\; \int e^{x}\,dx.

Passo 4

Agora uso as primitivas padrão:
4\int \cos x\,dx = 4\sin x + C_1, \qquad \int e^{x}\,dx = e^{x} + C_2.
Juntando (e combinando as constantes em uma só constante C):
\int \bigl(4\cos x - e^{x}\bigr)\,dx = 4\sin x - e^{x} + C,
onde C é uma constante real qualquer.
Verificação rápida: se definirmos F(x)=4\sin x - e^{x} + C, então
F'(x)=4\cos x - e^{x}=f(x),
portanto está correto.

Resposta

F(x)=4\sin x - e^{x} + C, com C\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados