Encontre o ponto sobre a esfera
que está mais próximo do ponto
. E o ponto mais distante do ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a esfera
e o ponto
. As perguntas são: encontrar o ponto da esfera que está mais próximo de
e o ponto da esfera que está mais distante de
. Lista das informações relevantes que temos:
a esfera tem centro na origem
e raio
(porque
), e o ponto exterior ou interior dado é
.
Passo 2
Vamos transformar o problema de “mais próximo / mais distante” em um problema de otimização mais simples: minimizar ou maximizar a distância entre um ponto genérico da esfera e
. Em provas costuma ser mais prático trabalhar com a distância ao quadrado, porque elimina raízes sem mudar onde ocorrem mínimos ou máximos. Se
é um ponto qualquer, a distância ao quadrado entre
e
é
Queremos minimizar / maximizar essa função sob a restrição
.
Passo 3
Vou usar um argumento geométrico simples e intuitivo (útil na prova): qualquer ponto
da esfera pode ser escrito como
onde
é um vetor unitário (ou seja,
). Assim, estamos escolhendo um ponto na direção
a partir da origem a distância 7. A distância entre
e
depende da direção
. Escrevendo
como vetor
, a distância ao quadrado é
onde usei a identidade
. Note que
e
são constantes; a única parte que muda com
é o produto escalar
.
Passo 4
Portanto, minimizar
é equivalente a maximizar
, e maximizar a distância é equivalente a minimizar
. Sabemos pela desigualdade de Cauchy-Schwarz que, para um vetor unitário
,
e o máximo é alcançado quando
tem a mesma direção de
. O mínimo de
é
, alcançado quando
tem direção oposta a
. Conclusão prática: o ponto mais próximo da esfera a
está na mesma direção de
partindo da origem; o mais distante está na direção oposta.
Passo 5
Calcule o comprimento de
:
Passo 6
O vetor unitário na direção de
é
Multiplicando pela escala do raio
obtemos o ponto da esfera na direção de
:
É útil simplificar as frações racionalizando:
. Assim
Passo 7
O ponto mais distante é simplesmente o oposto desse (mesma linha, sentido contrário), ou seja
Passo 8
Verificação rápida (útil para a prova): ambos os pontos satisfazem a equação da esfera. Por exemplo, para
somamos os quadrados das coordenadas:
logo está na esfera. O mesmo vale para o ponto oposto. Isso confirma que nossas contas estão consistentes.