Encontre o ponto sobre a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=49 que está mais próximo do ponto P=(1,2,3). E o ponto mais distante do ponto P.

Passo 1

O enunciado dá a esfera \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=49\; e o ponto P=(1,2,3). As perguntas são: encontrar o ponto da esfera que está mais próximo de P e o ponto da esfera que está mais distante de P. Lista das informações relevantes que temos: \; a esfera tem centro na origem \;(0,0,0)\; e raio \;7\; (porque 49=7^{2}), e o ponto exterior ou interior dado é \;P=(1,2,3).

Passo 2

Vamos transformar o problema de “mais próximo / mais distante” em um problema de otimização mais simples: minimizar ou maximizar a distância entre um ponto genérico da esfera e P. Em provas costuma ser mais prático trabalhar com a distância ao quadrado, porque elimina raízes sem mudar onde ocorrem mínimos ou máximos. Se Q=(x,y,z) é um ponto qualquer, a distância ao quadrado entre Q e P é
d^{2}(Q,P)=(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}.
Queremos minimizar / maximizar essa função sob a restrição \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=49.

Passo 3

Vou usar um argumento geométrico simples e intuitivo (útil na prova): qualquer ponto Q da esfera pode ser escrito como \;Q=7\mathbf{u}\; onde \mathbf{u} é um vetor unitário (ou seja, \|\mathbf{u}\|=1). Assim, estamos escolhendo um ponto na direção \mathbf{u} a partir da origem a distância 7. A distância entre Q e P depende da direção \mathbf{u}. Escrevendo P como vetor \mathbf{p}=(1,2,3), a distância ao quadrado é
\|7\mathbf{u}-\mathbf{p}\|^{2}=49-14\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{p}+\|\mathbf{p}\|^{2},
onde usei a identidade \|a-b\|^{2}=\|a\|^{2}-2a\cdot b+\|b\|^{2}. Note que \|\mathbf{p}\|^{2} e 49 são constantes; a única parte que muda com \mathbf{u} é o produto escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{p}.

Passo 4

Portanto, minimizar \|7\mathbf{u}-\mathbf{p}\|^{2} é equivalente a maximizar \mathbf{u}\cdot\mathbf{p}, e maximizar a distância é equivalente a minimizar \mathbf{u}\cdot\mathbf{p}. Sabemos pela desigualdade de Cauchy-Schwarz que, para um vetor unitário \mathbf{u},
\mathbf{u}\cdot\mathbf{p} \le \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{p}\| = \|\mathbf{p}\|
e o máximo é alcançado quando \mathbf{u} tem a mesma direção de \mathbf{p}. O mínimo de \mathbf{u}\cdot\mathbf{p} é -\|\mathbf{p}\|, alcançado quando \mathbf{u} tem direção oposta a \mathbf{p}. Conclusão prática: o ponto mais próximo da esfera a P está na mesma direção de \mathbf{p}=(1,2,3) partindo da origem; o mais distante está na direção oposta.

Passo 5

Calcule o comprimento de \mathbf{p}:
\|\mathbf{p}\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}.

Passo 6

O vetor unitário na direção de \mathbf{p} é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{p}}{\|\mathbf{p}\|}=\frac{(1,2,3)}{\sqrt{14}}.
Multiplicando pela escala do raio 7 obtemos o ponto da esfera na direção de \mathbf{p}:
Q_{\text{próximo}}=7\mathbf{u}=7\frac{(1,2,3)}{\sqrt{14}}=\left(\frac{7}{\sqrt{14}},\frac{14}{\sqrt{14}},\frac{21}{\sqrt{14}}\right).ó
É útil simplificar as frações racionalizando: \frac{7}{\sqrt{14}}=\frac{7\sqrt{14}}{14}=\frac{\sqrt{14}}{2}. Assim
Q_{\text{próximo}}=\left(\frac{\sqrt{14}}{2},\sqrt{14},\frac{3\sqrt{14}}{2}\right).ó

Passo 7

O ponto mais distante é simplesmente o oposto desse (mesma linha, sentido contrário), ou seja
Q_{\text{distante}}=-7\frac{(1,2,3)}{\sqrt{14}}=\left(-\frac{\sqrt{14}}{2},-\sqrt{14},-\frac{3\sqrt{14}}{2}\right).

Passo 8

Verificação rápida (útil para a prova): ambos os pontos satisfazem a equação da esfera. Por exemplo, para Q_{\text{próximo}}ó somamos os quadrados das coordenadas:
\left(\frac{\sqrt{14}}{2}\right)^{2}+(\sqrt{14})^{2}+\left(\frac{3\sqrt{14}}{2}\right)^{2}=\frac{14}{4}+14+\frac{9\cdot14}{4}=\frac{14+56+126}{4}=\frac{196}{4}=49,
logo está na esfera. O mesmo vale para o ponto oposto. Isso confirma que nossas contas estão consistentes.

Resposta

\left(\dfrac{\sqrt{14}}{2},\sqrt{14},\dfrac{3\sqrt{14}}{2}\right)
\left(-\dfrac{\sqrt{14}}{2},-\sqrt{14},-\dfrac{3\sqrt{14}}{2}\right)

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