Encontre o ponto sobre a reta de equação
y = 4 x + 17
que está mais próximo da origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o ponto na reta de equação que está mais pertinho da origem, que é o ponto . Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica, como a distância entre pontos e a perpendicularidade entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância entre dois pontos no plano pode ser encontrada usando a fórmula da distância. Mas, nesse caso, queremos encontrar o ponto na reta que está mais próximo da origem. Isso acontece exatamente onde a linha que liga esse ponto à origem é perpendicular à reta dada.

Passo 3

Sabendo disso, precisamos encontrar a reta que passa pela origem e é perpendicular à reta . Para achar a inclinação dessa reta perpendicular, usamos o conceito de que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for .
A inclinação da nossa reta dada é . Então, a inclinação da reta perpendicular será:
Portanto, a equação da reta que passa pela origem e é perpendicular à reta dada é:

Passo 4

Agora, temos duas equações de retas:
  1. (reta dada)
  2. (reta perpendicular passando pela origem)
Vamos encontrar o ponto de interseção dessas duas retas, que será o ponto mais próximo da origem na reta dada.
Igualando as duas equações:
Vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por 4:
Dividindo por 17:
Agora, substituímos em uma das equações para achar . Vamos usar :

Resposta

O ponto sobre a reta que está mais próximo da origem é .

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