Encontre o ponto sobre a reta de equação
que está mais próximo da origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o ponto na reta de equação
que está mais pertinho da origem, que é o ponto
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica, como a distância entre pontos e a perpendicularidade entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distância entre dois pontos no plano pode ser encontrada usando a fórmula da distância. Mas, nesse caso, queremos encontrar o ponto na reta que está mais próximo da origem. Isso acontece exatamente onde a linha que liga esse ponto à origem é perpendicular à reta dada.
Passo 3
Sabendo disso, precisamos encontrar a reta que passa pela origem e é perpendicular à reta
. Para achar a inclinação dessa reta perpendicular, usamos o conceito de que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for
.
A inclinação da nossa reta dada é
. Então, a inclinação da reta perpendicular será:
Portanto, a equação da reta que passa pela origem e é perpendicular à reta dada é:
Passo 4
Agora, temos duas equações de retas:
-
(reta dada) -
(reta perpendicular passando pela origem)
Vamos encontrar o ponto de interseção dessas duas retas, que será o ponto mais próximo da origem na reta dada.
Igualando as duas equações:
Vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Dividindo por 17:
Agora, substituímos
em uma das equações para achar
. Vamos usar
:
Resposta
O ponto sobre a reta
que está mais próximo da origem é
.