Utilizando a definição de derivada:
lim h 0 f(x+h)-f(x)h
calcule a expressão de f^prime(x) dos casos a seguir: (a) f(x)=x^3-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar a definição de derivada, que é uma forma de calcular a taxa de variação de uma função. No caso, a função que estamos trabalhando é f'(x) = lim h 0 f(x+h)-f(x)h . Para encontrar , que é a derivada dessa função, vamos aplicar a definição:

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(x+h) = (x+h)^3 - (x+h) . Substituindo (x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 por f(x+h) = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x - h na função :
Vamos expandir usando a fórmula do binômio de Newton:
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular f(x+h) - f(x) = (x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x - h) - (x^3 - x) :
f(x+h) - f(x) = 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - h
Simplificando os termos:

Passo 4

Vamos dividir tudo por f(x+h) - f(x)h = 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - hh :
f(x+h) - f(x)h = 3x^2 + 3xh + h^2 - 1
Simplificando dividindo cada termo por :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando f'(x) = lim h 0 (3x^2 + 3xh + h^2 - 1) tende a 0:
f'(x) = 3x^2 + 0 + 0 - 1 = 3x^2 - 1
Substituindo :

Resposta

A derivada da função f'(x) = 3x^2 - 1 é:

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