Resolva as equações diferenciais de variáveis separáveis dadas:
Definição: Uma equação diferencial da forma
ou
é dita uma equação diferencial de variáveis separáveis e sua solução geral é dada por:
Definição: Uma equação diferencial da forma
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de variáveis separáveis, que é um tipo de equação onde conseguimos separar as variáveis
e
para facilitar a solução. Nosso objetivo aqui é resolver a seguinte equação:
Para resolver isso, vamos separar as variáveis e integrar cada lado da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar
e
. A equação dada é:
Vamos isolar
:
Lembrando que
, podemos escrever:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para separar as variáveis:
Passo 3
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. A equação ficou:
Vamos integrar cada lado:
A integral do lado esquerdo é simples:
Agora, precisamos resolver a integral do lado direito. Para isso, vamos fazer uma substituição para facilitar.
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Perceba que podemos fatorar o 4 dentro da raiz:
Agora, vamos fazer a substituição
. Assim,
ou
. Substituindo na integral:
A integral de
é uma função arco-seno:
Resposta
Juntando tudo, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.