Resolva as equações diferenciais de variáveis separáveis dadas:
Definição: Uma equação diferencial da forma M(t)+N(y) y^prime=0 ou M(t) d t+ N(t) d y=0 é dita uma equação diferencial de variáveis separáveis e sua solução geral é dada por:
integral M(t) d t=-integral N(y) d y+C
raiz1-4 t^2 y^prime=1

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de variáveis separáveis, que é um tipo de equação onde conseguimos separar as variáveis raiz1 - 4 t^2 cdot y^prime = 1 e para facilitar a solução. Nosso objetivo aqui é resolver a seguinte equação:
Para resolver isso, vamos separar as variáveis e integrar cada lado da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar raiz1 - 4 t^2 cdot y^prime = 1 e y^prime = 1raiz1 - 4 t^2 . A equação dada é:
dydt = 1raiz1 - 4 t^2
Vamos isolar dy = 1raiz1 - 4 t^2 , dt :
Lembrando que , podemos escrever:
Agora, multiplicamos ambos os lados por para separar as variáveis:

Passo 3

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. A equação ficou:
dy = 1raiz1 - 4 t^2 , dt
Vamos integrar cada lado:
integral dy = integral 1raiz1 - 4 t^2 , dt
A integral do lado esquerdo é simples:
integral dy = y + C1
Agora, precisamos resolver a integral do lado direito. Para isso, vamos fazer uma substituição para facilitar.

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral 1raiz1 - 4 t^2 , dt
Perceba que podemos fatorar o 4 dentro da raiz:
integral 1raiz1 - (2t)^2 , dt
Agora, vamos fazer a substituição integral 1raiz1 - u^2 cdot du2 = 12 integral 1raiz1 - u^2 , du . Assim, 12 arcsin(u) + C2 = 12 arcsin(2t) + C2 ou . Substituindo na integral:
A integral de é uma função arco-seno:

Resposta

Juntando tudo, a solução geral da equação diferencial é:
y = 12 arcsin(2t) + C
Onde é a constante de integração.

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