Verifique que de todos os paralelepípedos retângulo com a mesma área A, o de maior volume é o cubo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, dentre todos os paralelepípedos retângulos com a mesma área de superfície , aquele que tem o maior volume é o cubo. Isso envolve conceitos de geometria e otimização. Vamos precisar entender como calcular a área e o volume do paralelepípedo e depois descobrir qual formato maximiza o volume com a área fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são definidos um paralelepípedo retângulo. Ele tem três dimensões: comprimento , largura e altura . O volume desse paralelepípedo é dado por:
E a área de superfície é a soma das áreas de todas as faces. Como há três pares de faces, a fórmula fica:

Passo 3

Como queremos que a área de superfície seja fixa, igual a , vamos escrever isso assim:
Nosso objetivo é maximizar o volume sob essa condição.

Passo 4

Para resolver esse tipo de problema, podemos usar uma técnica de otimização chamada método dos multiplicadores de Lagrange ou aplicar a desigualdade da média geométrica e aritmética (AM ≥ GM). Vamos optar pela segunda, pois é mais intuitiva.
A desigualdade AM ≥ GM diz que, para números positivos, a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica. Aplicando isso aos termos , e :

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 3:
Multiplicando por 2 (para igualar à área de superfície):
Sabemos que , então:

Passo 6

Vamos isolar :
Elevando ambos os lados ao cubo:
Tirando a raiz quadrada:

Passo 7

A igualdade na desigualdade AM ≥ GM ocorre quando todos os termos são iguais. Ou seja, quando:
Isso só acontece quando , ou seja, quando o paralelepípedo é um cubo.

Passo 8

Portanto, o volume máximo ocorre quando . Assim, o paralelepípedo que maximiza o volume com uma área de superfície fixa é o cubo.

Resposta

O paralelepípedo com a maior volume, dado uma área de superfície , é o cubo, onde todas as arestas são iguais.

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