Verifique que de todos os paralelepípedos retângulo com a mesma área
, o de maior volume é o cubo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, dentre todos os paralelepípedos retângulos com a mesma área de superfície
, aquele que tem o maior volume é o cubo. Isso envolve conceitos de geometria e otimização. Vamos precisar entender como calcular a área e o volume do paralelepípedo e depois descobrir qual formato maximiza o volume com a área fixa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são definidos um paralelepípedo retângulo. Ele tem três dimensões: comprimento
, largura
e altura
. O volume
desse paralelepípedo é dado por:
E a área de superfície
é a soma das áreas de todas as faces. Como há três pares de faces, a fórmula fica:
Passo 3
Como queremos que a área de superfície seja fixa, igual a
, vamos escrever isso assim:
Nosso objetivo é maximizar o volume
sob essa condição.
Passo 4
Para resolver esse tipo de problema, podemos usar uma técnica de otimização chamada método dos multiplicadores de Lagrange ou aplicar a desigualdade da média geométrica e aritmética (AM ≥ GM). Vamos optar pela segunda, pois é mais intuitiva.
A desigualdade AM ≥ GM diz que, para números positivos, a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica. Aplicando isso aos termos
,
e
:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por 3:
Multiplicando por 2 (para igualar à área de superfície):
Sabemos que
, então:
Passo 6
Vamos isolar
:
Elevando ambos os lados ao cubo:
Tirando a raiz quadrada:
Passo 7
A igualdade na desigualdade AM ≥ GM ocorre quando todos os termos são iguais. Ou seja, quando:
Isso só acontece quando
, ou seja, quando o paralelepípedo é um cubo.
Passo 8
Portanto, o volume máximo
ocorre quando
. Assim, o paralelepípedo que maximiza o volume com uma área de superfície fixa
é o cubo.
Resposta
O paralelepípedo com a maior volume, dado uma área de superfície
, é o cubo, onde todas as arestas são iguais.