(2.0) Encontre o ponto (x^*, y^*, z^*) do plano x+y+z=1 que está mais próximo da origem

Passo 1

O enunciado pede o ponto l(x^*,y^*,z^*r) do plano
x+y+z=1
que minimiza a distância à origem. Em geometria, isso equivale a projetar a origem ortogonalmente sobre o plano. Em cálculo, podemos formular isso como minimizar a função distância ao quadrado
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
sujeito à restrição
g(x,y,z)=x+y+z-1=0

Passo 2

Usamos multiplicadores de Lagrange. Definimos a função
L(x,y,z,lambda)=x^2+y^2+z^2-lambda,(x+y+z-1)
As condições de estacionaridade são
partial Lpartial x=2x-lambda=0, partial Lpartial y=2y-lambda=0, partial Lpartial z=2z-lambda=0,
juntamente com a restrição x+y+z=1.

Passo 3

Das três primeiras igualdades obtemos
2x=lambda, 2y=lambda, 2z=lambda
logo
x=y=z=lambda2
Substituindo na restrição x+y+z=1
3cdotlambda2=1 Longrightarrow lambda=23,
e assim
x=y=z=13

Resposta

O ponto do plano x+y+z=1 mais próximo da origem é
l(x^*,y^*,z^*r) =gl(13,13,13gr)

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