Encontre os pontos críticos de f(x, y)=x^3 y+x y^2+x.

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos de f(x,y)=x^3y + xy^2 + x. Pontos críticos são aqueles em que o gradiente de f se anula, ou seja, onde
partial fpartial x=0 e partial fpartial y=0
Vamos calcular as derivadas parciais e resolver o sistema resultante.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
partial fpartial x =3x^2y + y^2 + 1,
partial fpartial y =x^3 + 2xy

Passo 3

Formar o sistema
3x^2y + y^2 + 1 = 0, x^3 + 2xy = 0
Da segunda equação fatoramos:
x^3 + 2xy = x,(x^2 + 2y)=0,
o que gera duas possibilidades: x=0 ou x^2+2y=0.

Passo 4

Analisar cada caso:
Caso 1: x=0.
Substituindo em 3x^2y + y^2 +1=0
y^2 + 1 = 0,
não há solução real.
Caso 2: x^2 + 2y = 0, ou seja y=-tfracx^22.
Substituindo em 3x^2y + y^2 +1=0 temos
3x^2l(-x^22r) + l(-x^22r)^2 +1 = 0 ;Longrightarrow; -32x^4 + 14x^4 + 1 = 0 ;Longrightarrow; -54x^4 +1 = 0 ;Longrightarrow; x^4 = 45
Logo
x = pml(45r)^1/4, y = -x^22 = -1raiz5

Resposta

Os pontos críticos reais de f são
l((tfrac45)^1/4,,-tfrac1raiz5r) e l(-(tfrac45)^1/4,,-tfrac1raiz5r)

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