Encontre os pontos críticos de cada função:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os pontos críticos da função
.
Informações fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - Não há outras restrições dadas explicitamente.
O que é pedido (claramente):
- Determinar os pontos críticos — isto é, os valores de
no domínio onde ou onde não existe (desde que esses pertençam ao domínio da função).
Passo 2
Determinar o domínio da função (primeiro passo importante).
- A função contém
, que está definida apenas para . - Portanto o domínio é
.
Observação: pontos fora do domínio não são considerados pontos críticos.
Passo 3
Escolher o método: calcular a derivada
e resolver
; verificar também onde
não existe (dentro do domínio).
Revisão rápida das regras que vou usar:
- Regra do produto: se
e são funções, . Aqui vou tomar e . - Derivada de
: para . - Regra da potência:
(válida para todo e ).
Passo 4
Calcular
passo a passo usando o produto:
Defina
e
.
-
. -
(pela regra da potência com ).
Aplicando a regra do produto:
Simplificando os termos (fator comum
):
Passo 5
Resolver
dentro do domínio
.
Temos
Como
para todo
, o único fator que pode anular
é
. Logo
Isto implica
Verificação de pontos onde
não existe:
está bem definida para todo
(já que aparece
e
, ambos definidos para
). Não há outros pontos críticos provenientes de derivada inexistente dentro do domínio.
Portanto o único ponto crítico é
.
Passo 6
Classificar o ponto crítico (máximo, mínimo ou ponto de inflexão) usando o teste da segunda derivada.
Regra do teste da segunda derivada: se
então
tem mínimo local em
; se
então
tem máximo local em
; se
o teste é inconclusivo.
Calcular
. Partindo de
, uso a regra do produto novamente.
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Aplicando:
Simplificando o segundo termo
. Então
Fatorando
:
Passo 7
Avaliar
em
.
Primeiro calcule
:
Substituindo em
:
Como
, pela segunda derivada concluímos que
tem um máximo local em
.