Encontre os pontos críticos de cada função:
f(x)=x^{-2} \cdot \ln x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os pontos críticos da função f(x)=x^{-2}\cdot\ln x.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • A função é f(x)=x^{-2}\ln x.
  • Não há outras restrições dadas explicitamente.
O que é pedido (claramente):
  • Determinar os pontos críticos — isto é, os valores de x no domínio onde f'(x)=0 ou onde f'(x) não existe (desde que esses x pertençam ao domínio da função).

Passo 2

Determinar o domínio da função (primeiro passo importante).
  • A função contém \ln x, que está definida apenas para x>0.
  • Portanto o domínio é (0,\infty).
Observação: pontos fora do domínio não são considerados pontos críticos.

Passo 3

Escolher o método: calcular a derivada f'(x) e resolver f'(x)=0; verificar também onde f'(x) não existe (dentro do domínio).
Revisão rápida das regras que vou usar:
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, (u v)' = u' v + u v'. Aqui vou tomar u(x)=\ln x e v(x)=x^{-2}.
  • Derivada de \ln x: \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x} para x>0.
  • Regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} (válida para todo n\in\mathbb{R} e x\neq0).

Passo 4

Calcular f'(x) passo a passo usando o produto:
Defina u(x)=\ln x e v(x)=x^{-2}.
  • u'(x)=\dfrac{1}{x}.
  • v'(x)=-2x^{-3} (pela regra da potência com n=-2).
Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\frac{1}{x}\cdot x^{-2}+\ln x\cdot(-2x^{-3}).
Simplificando os termos (fator comum x^{-3}):
f'(x)=x^{-3}-2\ln x\;x^{-3}=x^{-3}\bigl(1-2\ln x\bigr).

Passo 5

Resolver f'(x)=0 dentro do domínio (0,\infty).
Temos
f'(x)=x^{-3}\bigl(1-2\ln x\bigr)=0.
Como x^{-3}>0 para todo x>0, o único fator que pode anular f'(x) é 1-2\ln x. Logo
1-2\ln x=0 \quad\Rightarrow\quad \ln x=\tfrac{1}{2}.
Isto implica
x=e^{1/2}=\sqrt{e}.
Verificação de pontos onde f' não existe: f'(x) está bem definida para todo x>0 (já que aparece x^{-3} e \ln x, ambos definidos para x>0). Não há outros pontos críticos provenientes de derivada inexistente dentro do domínio.
Portanto o único ponto crítico é x=\sqrt{e}.

Passo 6

Classificar o ponto crítico (máximo, mínimo ou ponto de inflexão) usando o teste da segunda derivada.
Regra do teste da segunda derivada: se f''\text{(c)}>0 então f tem mínimo local em c; se f''\text{(c)}<0 então f tem máximo local em c; se f''\text{(c)}=0 o teste é inconclusivo.
Calcular f''(x). Partindo de f'(x)=x^{-3}(1-2\ln x), uso a regra do produto novamente.
  • Derivada de x^{-3} é -3x^{-4}.
  • Derivada de 1-2\ln x é -2\cdot\dfrac{1}{x}=-2x^{-1}.
Aplicando:
f''(x) = (-3x^{-4})(1-2\ln x) + x^{-3}(-2x^{-1}).
Simplificando o segundo termo x^{-3}(-2x^{-1})=-2x^{-4}. Então
f''(x) = -3x^{-4}(1-2\ln x)-2x^{-4}.
Fatorando x^{-4}:
f''(x)=x^{-4}\bigl(-3(1-2\ln x)-2\bigr)=x^{-4}\bigl(-3+6\ln x-2\bigr)=x^{-4}\bigl(6\ln x-5\bigr).

Passo 7

Avaliar f'' em x=\sqrt{e}.
Primeiro calcule \ln(\sqrt{e}):
\ln(\sqrt{e})=\ln(e^{1/2})=\tfrac{1}{2}.
Substituindo em f'':
f''(\sqrt{e})=(\sqrt{e})^{-4}\bigl(6\cdot\tfrac{1}{2}-5\bigr)=e^{-2}\bigl(3-5\bigr)=e^{-2}(-2)=-2e^{-2}.
Como -2e^{-2}<0, pela segunda derivada concluímos que f tem um máximo local em x=\sqrt{e}.

Resposta

x=\sqrt{e} (máximo local)

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