Prove que se a equação diferencial é da forma y^{\prime \prime}-k^{2} y=0, então a solução geral é da forma y=c_{1} e^{k x}+c_{2} e^{-k x}.

Passo 1

O problema dá a equação diferencial
y'' - k^{2} y = 0
onde y é função de x e k é uma constante (que pode ser 0 ou não). A tarefa é provar que a solução geral é da forma
y = c_{1} e^{k x} + c_{2} e^{-k x}.
Vou listar explicitamente o que o enunciado pede e o que temos de útil:
  • Dado: a equação \;y''-k^{2}y=0\;.
  • Pedido: apresentar e justificar a forma geral da solução, isto é, mostrar que as funções indicadas formam a solução geral (e tratar o caso k=0, se necessário).
    Não vou resolver nada neste passo; apenas especifiquei o objetivo e os dados fornecidos.

Passo 2

Ideia do método (por que tentar soluções exponenciais?). Vou explicar por que tentamos uma solução da forma \;y=e^{r x}\;.
  • Se y(x)=e^{r x}, então a derivada é \;y'(x)=r e^{r x}\; e a segunda derivada é \;y''(x)=r^{2} e^{r x}\;.
  • Observe que ao substituir essas derivadas na equação linear com coeficientes constantes, o fator e^{r x} aparece em todos os termos e pode ser cancelado, transformando a equação diferencial em uma equação algébrica para r. Isso reduz o problema diferencial a um problema algébrico mais simples.
    Essa é a razão prática: exponenciais mantêm a mesma “forma” ao derivar, o que facilita a análise.

Passo 3

Substituição e equação característica. Substituo y=e^{r x} em \;y''-k^{2}y=0\;:
y''-k^{2}y = r^{2} e^{r x} - k^{2} e^{r x} = \bigl(r^{2}-k^{2}\bigr) e^{r x}.
Como e^{r x} nunca é zero, para que a expressão acima seja identicamente zero precisamos de
r^{2}-k^{2}=0.
Esta é a chamada equação característica. Resolvendo-a obtém-se os valores de r que tornam e^{r x} uma solução.

Passo 4

Resolução da equação característica. A equação
r^{2}-k^{2}=0
fatora-se como
(r-k)(r+k)=0,
logo as raízes são
r_{1}=k,\qquad r_{2}=-k.
Portanto as duas funções
y_{1}(x)=e^{k x}\qquad\text{e}\qquad y_{2}(x)=e^{-k x}
são soluções da equação diferencial (basta verificar substituindo; isso já foi mostrado pela derivação anterior).

Passo 5

Por que a combinação linear destas duas soluções é a solução geral? Explico passo a passo e sem pular etapas:
  • Teorema (intuitivo e padrão para ODEs lineares de segunda ordem): o espaço de soluções da equação linear homogênea de segunda ordem tem dimensão 2. Assim, se encontrarmos duas soluções linearmente independentes, qualquer solução será combinação linear dessas duas.
  • Mostro que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes calculando o Wronskiano. O Wronskiano é
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} y_{1}(x) & y_{2}(x)\\[4pt] y_{1}'(x) & y_{2}'(x) \end{vmatrix}.
Para y_{1}=e^{k x} e y_{2}=e^{-k x} temos y_{1}'=k e^{k x} e y_{2}'=-k e^{-k x}. Então
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} e^{k x} & e^{-k x}\\[4pt] k e^{k x} & -k e^{-k x} \end{vmatrix} = e^{k x}\cdot(-k e^{-k x}) - e^{-k x}\cdot(k e^{k x}).
Calculando,
W(y_{1},y_{2})(x) = -k - k = -2k.
  • Observação importante: W(y_{1},y_{2})(x)=-2k é constante e diferente de zero quando k\neq 0. Logo, para k\neq 0 as funções são linearmente independentes e, por serem duas soluções independentes de uma equação de segunda ordem, geram todo o espaço de soluções. Portanto, para k\neq 0 a solução geral é
y(x)=c_{1} e^{k x} + c_{2} e^{-k x},
com c_{1},c_{2} constantes arbitrárias (dois parâmetros livres como esperado).]

Passo 6

Tratamento do caso especial k=0. É preciso verificar o que ocorre quando k=0, já que a fórmula anterior para o Wronskiano usou inversamente k.
  • Se k=0, a equação dada fica
y'' - 0\cdot y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y''=0.
  • Integrando duas vezes: da primeira integração obtemos y'(x)=C_{1} (constante), e integrando novamente y(x)=C_{1}x + C_{2}, onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. Assim, para k=0 a solução geral é
y(x)=C_{1}x + C_{2}.
  • Note também que, se eu tentar usar e^{k x} e e^{-k x} com k=0, obtenho e^{0}=1 e e^{0}=1, ou seja as duas “soluções” coincidem e não são independentes; por isso a forma c_{1}e^{k x}+c_{2}e^{-k x} não gera todas as soluções quando k=0.

Resposta

Para k\neq 0: y(x)=c_{1} e^{k x} + c_{2} e^{-k x}.
Para k=0: y(x)=c_{1}x + c_{2}.

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