Encontre os pontos críticos e classifique em máximo, mínimo local ou ponto de sela da função dada
f(x, y)=(x-y)(1-x y)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y) = (x - y),(1 - x,y)
e classificá-los como máximo, mínimo local ou ponto de sela.
Para isso vamos usar dois conceitos:
1. Pontos críticos são soluções de nabla f=(0,0).
2. A classificação se faz pelo teste da Hessiana, em que calculamos
D = fxx,fyy - (fxy)^2
e usamos o sinal de D e de fxx para decidir.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x = 1 - 2xy + y^2, partial fpartial y = -1 - x^2 + 2xy
Igualando a zero:
1 + y^2 - 2xy = 0, -1 - x^2 + 2xy = 0
Somando as duas dá y^2 - x^2 = 0, ou seja x^2=y^2.
Se x=y, da primeira equação vem
1 + x^2 - 2x^2 = 0 Longrightarrow x^2 = 1,
logo x=y=pm1.
Testes com x=0 ou y=0 não anulam ambas as derivadas parciais.
Portanto os únicos pontos críticos são
(1,1)e(-1,-1)

Passo 3

Agora calculamos as segundas derivadas para a matriz Hessiana:
fxx = -2y, fxy = 2y - 2x, fyy = 2x
No ponto (1,1):
fxx = -2,; fxy=0,; fyy=2, D = (-2)cdot2 - 0^2 = -4 < 0,
logo ponto de sela.
No ponto (-1,-1):
fxx = 2,; fxy=0,; fyy=-2, D = 2cdot(-2) - 0^2 = -4 < 0,
também ponto de sela.

Resposta

(1,1) é ponto de sela.
(-1,-1) é ponto de sela.

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