K) Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
sumk=1^infty (-1)^k+1 k !6^k

Passo 1

O enunciado pede para a série
sumk=1^infty (-1)^k+1k!6^k
verificar (a) convergência absoluta e (b) convergência condicional. O conteúdo é séries numéricas, em particular teste da razão para absolutos e teste do termo geral para a série alternada.

Passo 2

Para estudar a convergência absoluta, consideramos
sumk=1^infty |(-1)^k+1k!6^k| = sumk=1^infty k!6^k
Aplicamos o teste da razão: definindo ak = tfrack!6^k, temos
limktoinftyak+1ak = limktoinfty(k+1)!/6^,k+1k!/6^k = limktoinftyk+16 = infty,
que é maior que 1, logo a série dos valores absolutos diverge.

Passo 3

Como sum|ak| diverge, não há convergência absoluta.

Passo 4

Para verificar convergência condicional da série original, basta notar que o termo geral não tende a zero:
limktoinfty(-1)^k+1k!6^k não existe como zero, pois limktoinftyk!6^k=infty ã
Uma condição necessária para convergência de qualquer série é lim ak=0. Aqui isso falha, então a série alternada também diverge.

Resposta

A série diverge, portanto não converge nem absolutamente nem condicionalmente.

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