a) Encontre os pontos críticos desse sistema.
b) Para cada ponto crítico, encontre os autovalores da matrix correspondente a parte linear e classifique quanto à estabilidade.
c) Faça um esboço do diagrama de fases .
\left\{\begin{array}{c} x^{\prime}=-3 x+y \\\ y^{\prime}=-2 x-4 y \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear autônomo
\begin{cases} x'=-3x+y,\\\ y'=-2x-4y, \end{cases}
e pede:
a) pontos críticos (equilíbrios);
b) autovalores da matriz da parte linear e classificação de estabilidade;
c) esboço do diagrama de fases.
O conteúdo principal aqui é teoria de sistemas lineares de dimensão 2: para classificarmos o equilíbrio, resolvemos a equação característica da matriz de coeficientes e usamos traço, determinante e sinal do discriminante.

Passo 2

Para achar os pontos críticos resolvemos
\begin{cases} -3x+y=0,\\\\ -2x-4y=0. \end{cases}
Da primeira equação vem y=3x. Substituindo na segunda:
-2x-4(3x)=0\;\Longrightarrow\;-2x-12x=0\;\Longrightarrow\;-14x=0\;\Longrightarrow\;x=0,
então y=3\cdot0=0. Logo o único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

A matriz associada ao sistema é
A = \begin{pmatrix}-3 & 1 \\[6pt] -2 & -4\end{pmatrix}.
O traço e o determinante são
\mathrm{tr}(A) = -3 + (-4) = -7, \quad \det(A) = (-3)(-4) - (1)(-2) = 12 + 2 = 14.
A equação característica é
\lambda^2 - (\mathrm{tr}A)\,\lambda + \det(A) = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^2 +7\lambda +14 = 0.
O discriminante vale
\Delta = 7^2 - 4\cdot1\cdot14 = 49 - 56 = -7 < 0,
portanto as raízes são complexas conjugadas:
\lambda_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{-7 \pm i\sqrt{7}}{2}.
]

Passo 4

Como \mathrm{tr}(A) = -7 < 0 e \det(A)=14>0 e o discriminante é negativo, temos um foco estável (espiral atratora). Ou seja, todas as soluções aproximam-se de (0,0) em espiral.

Passo 5

Para determinar o sentido de rotação, avaliamos o campo em dois pontos:
  • Em (1,0): (x',y') = (-3\cdot1 + 0,\,-2\cdot1 -4\cdot0) = (-3,-2),vetor apontando para baixo e para a esquerda.
  • Em (0,1): (x',y') = (-3\cdot0 + 1,\,-2\cdot0 -4\cdot1) = (1,-4),vetor apontando para a direita e para baixo.
    Isso indica rotação no sentido horário.

Passo 6

O diagrama de fases consiste em curvas em espiral convergindo para a origem, girando no sentido horário.

Resposta

a) O único ponto crítico é (0,0).
b) Os autovalores são
\displaystyle \lambda_{1,2} = \frac{-7 \pm i\sqrt{7}}{2},
logo temos um foco estável (espiral atratora).
c) As trajetórias são espirais que giram no sentido horário e convergem a (0,0).

Exercícios relacionados