a) Encontre os pontos críticos desse sistema.
b) Para cada ponto crítico, encontre os autovalores da matrix correspondente a parte linear e classifique quanto à estabilidade.
c) Faça um esboço do diagrama de fases .
\left\{\begin{array}{c} x^{\prime}=-3 x+y \\\ y^{\prime}=-2 x-4 y \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado apresenta um sistema linear autônomo
\begin{cases} x'=-3x+y,\\\ y'=-2x-4y, \end{cases}
e pede:
a) pontos críticos (equilíbrios);
b) autovalores da matriz da parte linear e classificação de estabilidade;
c) esboço do diagrama de fases.
O conteúdo principal aqui é teoria de sistemas lineares de dimensão 2: para classificarmos o equilíbrio, resolvemos a equação característica da matriz de coeficientes e usamos traço, determinante e sinal do discriminante.
Passo 2
Para achar os pontos críticos resolvemos
\begin{cases} -3x+y=0,\\\\ -2x-4y=0. \end{cases}
Da primeira equação vem y=3x. Substituindo na segunda:
Como \mathrm{tr}(A) = -7 < 0 e \det(A)=14>0 e o discriminante é negativo, temos um foco estável (espiral atratora). Ou seja, todas as soluções aproximam-se de (0,0) em espiral.
Passo 5
Para determinar o sentido de rotação, avaliamos o campo em dois pontos:
Em (1,0):(x',y') = (-3\cdot1 + 0,\,-2\cdot1 -4\cdot0) = (-3,-2),vetor apontando para baixo e para a esquerda.
Em (0,1):(x',y') = (-3\cdot0 + 1,\,-2\cdot0 -4\cdot1) = (1,-4),vetor apontando para a direita e para baixo.
Isso indica rotação no sentido horário.
Passo 6
O diagrama de fases consiste em curvas em espiral convergindo para a origem, girando no sentido horário.
Resposta
a) O único ponto crítico é (0,0).
b) Os autovalores são \displaystyle \lambda_{1,2} = \frac{-7 \pm i\sqrt{7}}{2},
logo temos um foco estável (espiral atratora).
c) As trajetórias são espirais que giram no sentido horário e convergem a (0,0).