Usando a convolução, encontre a solução do problema de valor inicial abaixo, onde
é uma função contínua.
Passo 1
O problema de valor inicial é
que é uma EDO linear com coeficientes constantes e termo forçante
. Vamos decompor a solução em parte homogênea, parte particular para o termo constante e parte particular para
via convolução usando a resposta impulsional do sistema.
Passo 2
A equação homogênea associada é
cuja equação característica é
. Logo a solução homogênea é
Como
é constante, fazemos
. Substituindo em
vem
, então
Passo 3
Para tratar o termo
usamos a resposta impulsional
, solução de
Em Laplace,
. Fazendo frações parciais,
logo, invertendo,
Passo 4
A parte particular relativa a
é dada por convolução:
Passo 5
A solução geral é
Usando
Para
temos
e em
o integral também é zero, de onde
Resolvendo o sistema
obtemos
.