Usando a convolução, encontre a solução do problema de valor inicial abaixo, onde g(t) é uma função contínua.
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=2+g(t), \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=-2 .

Passo 1

O problema de valor inicial é
y'' - 5y' + 6y = 2 + g(t),\quad y(0)=1,\quad y'(0)=-2,
que é uma EDO linear com coeficientes constantes e termo forçante 2+g(t). Vamos decompor a solução em parte homogênea, parte particular para o termo constante e parte particular para g(t) via convolução usando a resposta impulsional do sistema.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 5y' +6y=0,
cuja equação característica é (r-2)(r-3)=0. Logo a solução homogênea é
y_h(t)=C_1e^{2t}+C_2e^{3t}.
Como 2 é constante, fazemos y_{p1}(t)=A. Substituindo em y''-5y'+6y=2 vem 6A=2, então
y_{p1}(t)=\tfrac13.

Passo 3

Para tratar o termo g(t) usamos a resposta impulsional h(t), solução de
h'' -5h' +6h=\delta(t),\quad h(0^-)=h'(0^-)=0.
Em Laplace, H(s)=1/(s^2-5s+6)=1/((s-2)(s-3)). Fazendo frações parciais,
\frac1{(s-2)(s-3)}=\frac1{s-3}-\frac1{s-2},
logo, invertendo,
h(t)=e^{3t}-e^{2t},\quad t\ge0.

Passo 4

A parte particular relativa a g(t) é dada por convolução:
y_{p2}(t) =\int_{0}^{t}h(t-s)\,g(s)\,ds =\int_{0}^{t}\bigl(e^{3(t-s)}-e^{2(t-s)}\bigr)\,g(s)\,ds.

Passo 5

A solução geral é
y(t)=C_1e^{2t}+C_2e^{3t}+\tfrac13 +\int_{0}^{t}\bigl(e^{3(t-s)}-e^{2(t-s)}\bigr)\,g(s)\,ds.
Usando y(0)=1\) e notando que a convolução vale zero em \(t=0\), vem \[C_1+C_2+\tfrac13=1\quad\Longrightarrow\quad C_1+C_2=\tfrac23.
Para y'(t) temos
y'(t)=2C_1e^{2t}+3C_2e^{3t} +\int_{0}^{t}\bigl(3e^{3(t-s)}-2e^{2(t-s)}\bigr)\,g(s)\,ds,
e em t=0 o integral também é zero, de onde
2C_1+3C_2=y'(0)=-2.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1+C_2=\tfrac23,\\\\ 2C_1+3C_2=-2, \end{cases}
obtemos C_1=4\] e \(C_2=-\tfrac{10}{3}.

Resposta

y(t) =4e^{2t}-\tfrac{10}{3}e^{3t}+\tfrac13 +\int_{0}^{t}\bigl(e^{3(t-s)}-e^{2(t-s)}\bigr)\,g(s)\,ds.

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