Encontre a solução y(t) da equação integral y(t)=\int_{0}^{t}(t-\tau) y(\tau) d \tau+\operatorname{sen} t.

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação integral de Volterra de segunda espécie
y(t)=\int_{0}^{t}(t-\tau)\,y(\tau)\,d\tau+\sin t.
O conteúdo envolve convolução e mostra que, ao derivar duas vezes, obtemos uma EDO para y(t).

Passo 2

Derivando em t a integral note que
y'(t)=\int_{0}^{t}1\cdot y(\tau)\,d\tau+\cos t =\int_{0}^{t}y(\tau)\,d\tau+\cos t.
Derivando novamente,
y''(t)=y(t)-\sin t.
Portanto a função y(t) satisfaz a EDO de segunda ordem
y''(t)-y(t)=-\sin t.

Passo 3

A solução geral de
y''-y=-\sin t
é a soma da solução homogênea y_h de y''-y=0 e de uma particular y_p.
Para a homogênea temos
y_h(t)=C_1e^t + C_2e^{-t}.
Para a particular, suponha
y_p(t)=a\sin t + b\cos t.
Então
y_p''-y_p =(-a\sin t - b\cos t)-(a\sin t + b\cos t) =-2a\sin t -2b\cos t
deve ser igual a -\sin t. Igualando coeficientes,
-2a=-1\implies a=\tfrac12, \quad -2b=0\implies b=0.
Logo
y_p(t)=\tfrac12\sin t.
A solução geral fica
y(t)=C_1e^t + C_2e^{-t} + \tfrac12\sin t.

Passo 4

Precisamos das condições iniciais. De y(t)=\int_{0}^{t}(t-\tau)y(\tau)d\tau+\sin t segue
y(0)=0+\sin0=0.
De y'(t)=\int_{0}^{t}y(\tau)d\tau+\cos t segue
y'(0)=0+\cos0=1.
Agora calcule y(0) e y'(0) na solução geral:
y(0)=C_1+C_2+0=0\implies C_2=-C_1,
y'(t)=C_1e^t - C_2e^{-t} + \tfrac12\cos t \implies y'(0)=C_1 - C_2 + \tfrac12=1.
Como C_2=-C_1, temos
y'(0)=C_1-(-C_1)+\tfrac12=2C_1+\tfrac12=1 \implies 2C_1=\tfrac12\implies C_1=\tfrac14,\;C_2=-\tfrac14.

Resposta

y(t)=\tfrac14\bigl(e^t-e^{-t}\bigr)+\tfrac12\sin t =\tfrac12\bigl(\operatorname{sinh} t+\sin t\bigr).

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