Encontre a solução
da equação integral
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma equação integral de Volterra de segunda espécie
O conteúdo envolve convolução e mostra que, ao derivar duas vezes, obtemos uma EDO para
.
Passo 2
Derivando em
a integral note que
Derivando novamente,
Portanto a função
satisfaz a EDO de segunda ordem
Passo 3
A solução geral de
é a soma da solução homogênea
de
e de uma particular
.
Para a homogênea temos
Para a homogênea temos
Para a particular, suponha
Então
deve ser igual a
. Igualando coeficientes,
Logo
A solução geral fica
Passo 4
Precisamos das condições iniciais. De
segue
De
segue
Agora calcule
e
na solução geral:
Como
, temos