Escreva a integral tripla que fornece o volume dos sólidos abaixo:
região limitada acima pelo paraboloide z=5-x^{2}-y^{2} \mathrm{e} abaixo pelo paraboloide z=4 x^{2}+4 y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado acima pelo paraboloide z=5 - x^2 - y^2 e abaixo pelo paraboloide z=4x^2 + 4y^2. Vamos usar coordenadas cilíndricas para aproveitar a simetria radial.

Passo 2

Encontramos a projeção da região no plano xy igualando as superfícies:
5 - x^2 - y^2 \;=\; 4x^2 + 4y^2
5 \;=\; 5(x^2 + y^2)
x^2 + y^2 \;=\; 1
Logo, a projeção é o disco de raio 1: 0 \le r \le 1,\;0\le \theta\le 2\pi.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z\in [\,4r^2,\;5 - r^2\,],
e o elemento de volume é
dV = r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Montamos a integral tripla para o volume:
V = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} \int_{z=4r^2}^{\,5 - r^2} r \;dz\;dr\;d\theta.

Resposta

V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{4r^2}^{\,5 - r^2} r \;dz\;dr\;d\theta

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