Encontre os pontos de máximo e de mínimo da função F(x, y)=y1+x^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo da função $ F(x, y) = \frac{y}{1 + x^{2} + y^{2}} $. Isso está dentro da área de Cálculo Multivariável, mais especificamente em otimização de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e analisar onde elas são iguais a zero, ou seja, encontrar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função $ F(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando mudamos uma variável mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
F(x, y)
Usando a regra do quociente, temos:
x

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ y $:
y
Aplicando a regra do quociente de novo:
partial Fpartial y = partialpartial y ( y1 + x^2 + y^2 )

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema de equações onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
partial Fpartial x = 0 e partial Fpartial y = 0
Vamos resolver cada uma separadamente.
Primeiro, igualando a derivada parcial em $ x $ a zero:
x
O denominador nunca é zero, então basta resolver:
-2xy(1 + x^2 + y^2)^2 = 0

Passo 5

Agora, igualando a derivada parcial em $ y $ a zero:
y
Novamente, o denominador não é zero, então:
1 + x^2 - y^2(1 + x^2 + y^2)^2 = 0

Passo 6

Vamos analisar as possibilidades encontradas:
  1. Caso $ x = 0 $:
    Substituindo na equação $ y^{2} = 1 + x^{2} $:
    x = 0
    Portanto, os pontos são $ (0, 1) $ e $ (0, -1) $.
  2. Caso $ y = 0 $:
    Substituindo na equação $ y^{2} = 1 + x^{2} $:
    y^2 = 1 + x^2
    Isso não tem solução real, então descartamos esse caso.

Passo 7

Agora que temos os pontos críticos $ (0, 1) $ e $ (0, -1) $, precisamos determinar se são pontos de máximo, mínimo ou ponto de sela.
Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Vamos calcular as segundas derivadas parciais:
(0, 1)

Passo 8

Primeiro, calculamos $ \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}} $:
partial^2 Fpartial x^2
Depois de fazer os cálculos, obtemos:
partial^2 Fpartial x^2 = partialpartial x ( -2xy(1 + x^2 + y^2)^2 )
Agora, calculamos $ \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}} $:
partial^2 Fpartial x^2 = 2y(3x^2 + y^2 - 1)(1 + x^2 + y^2)^3
Após os cálculos, temos:
partial^2 Fpartial y^2
Finalmente, calculamos $ \frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y} $:
partial^2 Fpartial y^2 = partialpartial y ( 1 + x^2 - y^2(1 + x^2 + y^2)^2 )

Passo 9

Agora, calculamos o discriminante $ D $ para cada ponto crítico:
D
Vamos avaliar $ D $ em cada ponto:
  1. No ponto $ (0, 1) $:
    Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 1 $:
    D = partial^2 Fpartial x^2 cdot partial^2 Fpartial y^2 - ( partial^2 Fpartial x partial y )^2
    D
    (0, 1)
    Então,
    x = 0
    Como $ D = 0 $, o teste é inconclusivo. Precisamos analisar de outra forma, mas observando a função, percebemos que $ F(0,1) = \frac{1}{2} $ é um ponto de máximo local.
  2. No ponto $ (0, -1) $:
    Substituindo $ x = 0 $ e $ y = -1 $:
    y = 1
    partial^2 Fpartial x^2 = 2 cdot 1 (0 + 1 - 1)(1 + 0 + 1)^3 = 0
    partial^2 Fpartial y^2 = 2(3 cdot 1^2 + 0 - 1)(1 + 0 + 1)^3 = 48 = 0.5
    Então,
    partial^2 Fpartial x partial y = -2 cdot 0 (1 - 1 + 0)(1 + 0 + 1)^3 = 0
    Novamente, $ D = 0 $ e o teste é inconclusivo. Observando a função, $ F(0,-1) = \frac{-1}{2} $ é um ponto de mínimo local.

Resposta

Os pontos de máximo e mínimo da função $ F(x, y) = \frac{y}{1 + x^{2} + y^{2}} $ são:
  • Máximo local em $ (0, 1) $
  • Mínimo local em $ (0, -1) $

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