Encontre os pontos de máximo e de mínimo da função
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo da função $ F(x, y) = \frac{y}{1 + x^{2} + y^{2}} $. Isso está dentro da área de Cálculo Multivariável, mais especificamente em otimização de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e analisar onde elas são iguais a zero, ou seja, encontrar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função $ F(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando mudamos uma variável mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
Usando a regra do quociente, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ y $:
Aplicando a regra do quociente de novo:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema de equações onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Primeiro, igualando a derivada parcial em $ x $ a zero:
O denominador nunca é zero, então basta resolver:
Passo 5
Agora, igualando a derivada parcial em $ y $ a zero:
Novamente, o denominador não é zero, então:
Passo 6
Vamos analisar as possibilidades encontradas:
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Caso $ x = 0 $:Substituindo na equação $ y^{2} = 1 + x^{2} $:Portanto, os pontos são $ (0, 1) $ e $ (0, -1) $.
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Caso $ y = 0 $:Substituindo na equação $ y^{2} = 1 + x^{2} $:Isso não tem solução real, então descartamos esse caso.
Passo 7
Agora que temos os pontos críticos $ (0, 1) $ e $ (0, -1) $, precisamos determinar se são pontos de máximo, mínimo ou ponto de sela.
Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Vamos calcular as segundas derivadas parciais:
Passo 8
Primeiro, calculamos $ \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}} $:
Depois de fazer os cálculos, obtemos:
Agora, calculamos $ \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}} $:
Após os cálculos, temos:
Finalmente, calculamos $ \frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y} $:
Passo 9
Agora, calculamos o discriminante $ D $ para cada ponto crítico:
Vamos avaliar $ D $ em cada ponto:
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No ponto $ (0, 1) $:Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 1 $:Então,Como $ D = 0 $, o teste é inconclusivo. Precisamos analisar de outra forma, mas observando a função, percebemos que $ F(0,1) = \frac{1}{2} $ é um ponto de máximo local.
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No ponto $ (0, -1) $:Substituindo $ x = 0 $ e $ y = -1 $:Então,Novamente, $ D = 0 $ e o teste é inconclusivo. Observando a função, $ F(0,-1) = \frac{-1}{2} $ é um ponto de mínimo local.
Resposta
Os pontos de máximo e mínimo da função $ F(x, y) = \frac{y}{1 + x^{2} + y^{2}} $ são:
- Máximo local em $ (0, 1) $
- Mínimo local em $ (0, -1) $