Utilizando aproximação linear, responda os itens a seguir:
a) Mostre que para valores de x próximos de zero \sin x é próximo de x.
b) Mostre que e^{x} \approx 1+x se x é próximo de zero.
c) Calculo aproximadamente, e^{-0,01}, e^{0,198}. Use uma calculadora para comparar com os valores reais.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • (a) Mostrar que, para valores de x próximos de zero, \sin x é próximo de x.
  • (b) Mostrar que, para x próximo de zero, e^{x}\approx 1+x.
  • (c) Calcular aproximadamente e^{-0,01} e e^{0,198} usando aproximação linear e, em seguida, comparar com os valores reais (usar calculadora).
Informações fornecidas: os valores de x a aproximar em (c) são x=-0,01 e x=0,198. Não há outras restrições.

Passo 2

Conceito: aproximação linear (linearização) de uma função diferenciável num ponto.
  • Se f é diferenciável em a, então perto de a podemos aproximar f por sua reta tangente em a:
L(x)=f(a)+f'(a)(x-a).
  • O que isso significa: f(a) é o valor da função no ponto de aproximação; f'(a) é a inclinação (derivada) nesse ponto; e x-a é o desvio do ponto a. Para x bem próximo de a, L(x) é uma boa aproximação de f(x).
  • Intuição simples: uma curva suave, vista muito de perto, parece uma reta (a reta tangente).
  • Observação sobre erro: o erro da aproximação é da ordem do próximo termo na série de Taylor. Para funções com derivadas suaves, o termo de ordem 2 (ou 3, dependendo da função) geralmente determina quão grande é o erro para pequenos |x-a|.

Passo 3

Aplicando a aproximação linear a \sin x em a=0.
  • Tome f(x)=\sin x.
  • Calcule f(0)=\sin 0=0.
  • Calcule f'(x)=\cos x, então f'(0)=\cos 0=1.
  • Pela fórmula da linearização com a=0,
L(x)=f(0)+f'(0)(x-0)=0+1\cdot x = x.
  • Conclusão: para x próximo de 0,
\sin x \approx x.
  • Para entender o erro: a série de Taylor de \sin x em 0 é
\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!}-\cdots,
logo a diferença \sin x - x é -x^{3}/6 + O(x^{5}). Isso mostra que o erro é da ordem de x^{3}, muito pequeno quando x é pequeno. Ex.: para x=0,1 o erro ≈ -0,1^{3}/6=-0,0001666, bem pequeno.

Passo 4

Aplicando a aproximação linear a e^{x} em a=0.
  • Tome f(x)=e^{x}.
  • Calcule f(0)=e^{0}=1.
  • Calcule f'(x)=e^{x}, então f'(0)=e^{0}=1.
  • Pela fórmula da linearização com a=0,
L(x)=f(0)+f'(0)(x-0)=1+1\cdot x = 1+x.
  • Conclusão: para x próximo de 0,
e^{x} \approx 1+x.
  • Sobre o erro: a série de Taylor de e^{x} em 0 é
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots,
então o erro e^{x}-(1+x) começa por x^{2}/2. Em termos de resto de Lagrange, existe c entre 0 e x tal que
e^{x}-(1+x)=\frac{e^{c}x^{2}}{2}.
Isso dá um limite para o erro: para |x| pequeno, x^{2}/2 é pequeno (muito menor que |x| quando x é pequeno).

Passo 5

Calcule as aproximações lineares pedidas em (c).
  • Usando e^{x}\approx 1+x com x=-0,01:
e^{-0,01}\approx 1+(-0,01)=0,99.
  • Usando e^{x}\approx 1+x com x=0,198:
e^{0,198}\approx 1+0,198=1,198.

Passo 6

Comparação com os valores reais (usei cálculo com precisão de máquina / calculadora para os valores exatos).
  • Valor real de e^{-0,01} (calculadora):
e^{-0,01}\approx 0,99004983375.
Diferença absoluta entre aproximação linear e real:
|0,99-0,99004983375| \approx 0,00004983375.
Erro relativo aproximado:
\frac{0,00004983375}{0,99004983375}\approx 5{,}03\times 10^{-5}\quad(\text{≈ }0{,}005\%).
Comentário: a aproximação linear foi muito boa aqui porque |x|=0,01 é muito pequeno e o erro é da ordem de x^{2}.
  • Valor real de e^{0,198} (calculadora):
e^{0,198}\approx 1,21896218106.
Diferença absoluta entre aproximação linear e real:
|1,198-1,21896218106|\approx 0,02096218106.
Erro relativo aproximado:
\frac{0,02096218106}{1,21896218106}\approx 0{,}0172\quad(\text{≈ }1{,}72\%).
Comentário: aqui x=0,198 não é tão pequeno, então o termo quadrático x^{2}/2 já contribui de forma não desprezível; por isso a aproximação linear tem erro de ordem de alguns por cento.

Passo 7

Resumo prático (dica para prova): para usar aproximação linear sempre calcule f(a) e f'(a) e aplique L(x)=f(a)+f'(a)(x-a). Aproxime em a conveniente (aqui a=0 é natural para \sin x e e^{x}). Sempre cheque a ordem do próximo termo da série (por exemplo x^{2}/2 para e^{x} ou x^{3}/6 para \sin x) para estimar se o erro será aceitável sem calculadora. Força aí — já deu um passo grande só por entender isso!

Resposta

a) \sin x \approx x para x próximo de 0.\n
b) e^{x} \approx 1+x para x próximo de 0.\n
c) Aproximações lineares: e^{-0,01}\approx 0,99, e^{0,198}\approx 1,198. Valores reais (calculadora): e^{-0,01}\approx 0,99004983375, e^{0,198}\approx 1,21896218106.

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