Utilizando aproximação linear, responda os itens a seguir:
a) Mostre que para valores de
próximos de zero
é próximo de
.
b) Mostre que
se
é próximo de zero.
c) Calculo aproximadamente,
. Use uma calculadora para comparar com os valores reais.
a) Mostre que para valores de
b) Mostre que
c) Calculo aproximadamente,
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- (a) Mostrar que, para valores de
próximos de zero, é próximo de . - (b) Mostrar que, para
próximo de zero, . - (c) Calcular aproximadamente
e usando aproximação linear e, em seguida, comparar com os valores reais (usar calculadora).
Informações fornecidas: os valores de
a aproximar em (c) são
e
. Não há outras restrições.
Passo 2
Conceito: aproximação linear (linearização) de uma função diferenciável num ponto.
- Se
é diferenciável em , então perto de podemos aproximar por sua reta tangente em :
- O que isso significa:
é o valor da função no ponto de aproximação; é a inclinação (derivada) nesse ponto; e é o desvio do ponto . Para bem próximo de , é uma boa aproximação de . - Intuição simples: uma curva suave, vista muito de perto, parece uma reta (a reta tangente).
- Observação sobre erro: o erro da aproximação é da ordem do próximo termo na série de Taylor. Para funções com derivadas suaves, o termo de ordem
(ou , dependendo da função) geralmente determina quão grande é o erro para pequenos .
Passo 3
Aplicando a aproximação linear a
em
.
- Tome
. - Calcule
. - Calcule
, então . - Pela fórmula da linearização com
,
- Conclusão: para
próximo de ,
- Para entender o erro: a série de Taylor de
em é
logo a diferença
é
. Isso mostra que o erro é da ordem de
, muito pequeno quando
é pequeno. Ex.: para
o erro ≈
, bem pequeno.
Passo 4
Aplicando a aproximação linear a
em
.
- Tome
. - Calcule
. - Calcule
, então . - Pela fórmula da linearização com
,
- Conclusão: para
próximo de ,
- Sobre o erro: a série de Taylor de
em é
então o erro
começa por
. Em termos de resto de Lagrange, existe
entre
e
tal que
Isso dá um limite para o erro: para
pequeno,
é pequeno (muito menor que
quando
é pequeno).
Passo 5
Calcule as aproximações lineares pedidas em (c).
- Usando
com :
- Usando
com :
Passo 6
Comparação com os valores reais (usei cálculo com precisão de máquina / calculadora para os valores exatos).
- Valor real de
(calculadora):
Diferença absoluta entre aproximação linear e real:
Erro relativo aproximado:
Comentário: a aproximação linear foi muito boa aqui porque
é muito pequeno e o erro é da ordem de
.
- Valor real de
(calculadora):
Diferença absoluta entre aproximação linear e real:
Erro relativo aproximado:
Comentário: aqui
não é tão pequeno, então o termo quadrático
já contribui de forma não desprezível; por isso a aproximação linear tem erro de ordem de alguns por cento.
Passo 7
Resumo prático (dica para prova): para usar aproximação linear sempre calcule
e
e aplique
. Aproxime em
conveniente (aqui
é natural para
e
). Sempre cheque a ordem do próximo termo da série (por exemplo
para
ou
para
) para estimar se o erro será aceitável sem calculadora. Força aí — já deu um passo grande só por entender isso!
Resposta
a)
para
próximo de
.\n
b) para
próximo de
.\n
c) Aproximações lineares: ,
. Valores reais (calculadora):
,
.
b)
c) Aproximações lineares: