Encontre os pontos críticos da função f(x, y)=10 x y e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} e use o teste da segunda derivada para classificá-lo como ponto de sela, ponto de mínimo local ou ponto de máximo local.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y) = 10\,x\,y\,e^{-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}
e pede para encontrar os pontos críticos (onde o gradiente se anula) e usar o teste da segunda derivada (Hessiano) para dizer quais são pontos de sela, mínimo local ou máximo local.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Como
f(x,y)=10\,x\,y\,E,\quad E=e^{-(x^{2}+y^{2})},
usamos produto e cadeia:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(10xyE\bigr) =10\,y\,E + 10\,x\,y\,\bigl(-2xE\bigr) =10\,y\,E\,(1-2x^{2}),
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(10xyE\bigr) =10\,x\,E + 10\,x\,y\,\bigl(-2yE\bigr) =10\,x\,E\,(1-2y^{2}).

Passo 3

Procuramos \,f_x=0 e f_y=0. Como E>0, as condições são
y\,(1-2x^{2})=0, \quad x\,(1-2y^{2})=0.
Dessas equações surgem dois casos principais:
  1. y=0 e depois x=0. Gera o ponto (0,0).
  2. 1-2x^{2}=0\Rightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt2} e 1-2y^{2}=0\Rightarrow y=\pm\frac{1}{\sqrt2}. Gera quatro pontos
\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr),\, \Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr),\, \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr),\, \Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr).

Passo 4

Derivar de novo para obter o Hessiano. Calculamos em forma geral:
f_{xx}=10\,y\,E\,(4x^{3}-6x), \quad f_{yy}=10\,x\,E\,(4y^{3}-6y),
f_{xy} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(10yE(1-2x^{2})\bigr) =10\,E\,(1-2x^{2})(1-2y^{2}).

Passo 5

Classificação em (0,0). Aqui E(0,0)=1, logo
f_{xx}(0,0)=0, \quad f_{yy}(0,0)=0, \quad f_{xy}(0,0)=10.
O discriminante do Hessiano é
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^{2} = 0\cdot0 - 10^{2} = -100 < 0,
portanto (0,0) é ponto de sela.

Passo 6

Classificação nos pontos \bigl(\pm\frac1{\sqrt2},\pm\frac1{\sqrt2}\bigr). Note que em todos eles
E = e^{-\bigl((1/2)+(1/2)\bigr)} = e^{-1},
e 1-2x^{2}=1-2y^{2}=0 torna f_{xy}=0.
  • Se x e y têm o mesmo sinal (os dois + ou os dois -), então
f_{xx}=f_{yy}=-\frac{20}{e}<0, \quad D=\frac{400}{e^{2}}>0,
logo é máximo local.
  • Se x e y têm sinais opostos, então
f_{xx}=f_{yy}=+\frac{20}{e}>0, \quad D=\frac{400}{e^{2}}>0,
logo é mínimo local.

Resposta

(0,0) → ponto de sela \bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr) e \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr) → máximos locais \bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr) e \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr) → mínimos locais

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