Encontre os pontos críticos da função
e use o teste da segunda derivada para classificá-lo como ponto de sela, ponto de mínimo local ou ponto de máximo local.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para encontrar os pontos críticos (onde o gradiente se anula) e usar o teste da segunda derivada (Hessiano) para dizer quais são pontos de sela, mínimo local ou máximo local.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Como
usamos produto e cadeia:
Passo 3
Procuramos
e
. Como
, as condições são
Dessas equações surgem dois casos principais:
-
e depois . Gera o ponto . -
e . Gera quatro pontos
Passo 4
Derivar de novo para obter o Hessiano. Calculamos em forma geral:
Passo 5
Classificação em
. Aqui
, logo
O discriminante do Hessiano é
portanto
é ponto de sela.
Passo 6
Classificação nos pontos
. Note que em todos eles
e
torna
.
- Se
e têm o mesmo sinal (os dois ou os dois ), então
logo é máximo local.
- Se
e têm sinais opostos, então
logo é mínimo local.